Lý thuyết Hệ tọa độ trong không gian lớp 12 (hay, chi tiết)
Bài viết Lý thuyết Hệ tọa độ trong không gian lớp 12 hay, chi tiết giúp bạn nắm vững kiến thức trọng tâm Lý thuyết Hệ tọa độ trong không gian.
Lý thuyết Hệ tọa độ trong không gian
Bài giảng: Bài 1 : Hệ tọa độ trong không gian - Thầy Trần Thế Mạnh (Giáo viên VietJack)
A. Tóm tắt lý thuyết
1. Hệ trục tọa độ trong không gian
Trong không gian, xét ba trục tọa độ Ox, Oy, Oz vuông góc với nhau từng đôi một và chung một điểm gốc O. Gọi i→, j→, k→ là các vectơ đơn vị, tương ứng trên các trục Ox, Oy, Oz. Hệ ba trục như vậy gọi là hệ trục tọa độ vuông góc trong không gian.
Chú ý:
2. Tọa độ của vectơ
a) Định nghĩa: u→ = (x; y; z) ⇔ k→ = xi→ + yj→ + zk→
b) Tính chất: Cho a→ = (a1; a2; a3), b→ = (b1; b2; b3), k ∈ R
• a→ ± b→ = (a1 ± b1; a2 ± b2; a3 ± b3; )
• ka→ = (ka1; ka2; ka3)
• 0→ = (0; 0; 0), i→ = (1; 0; 0), j→ = (0; 1; 0), k→ = (0; 0; 1)
• a→ cùng phương b→ (b→ ≠ 0→) ⇔ a→ = kb→ (k ∈ R)
• a→.b→ = a1.b1 + a2.b2 + a3.b3
• a→ ⊥ b→ ⇔ a1b1 + a2b2 + a3b3 = 0
3. Tọa độ của điểm
a) Định nghĩa: M(x; y; z) ⇔ OM→ = x.i→ + y.j→ + z.k→ (x : hoành độ, y : tung độ, z : cao độ)
Chú ý: • M ∈ (Oxy) ⇔ z = 0; M ∈ (Oyz) ⇔ x = 0; M ∈ (Oxz) ⇔ y = 0
• M ∈ Ox ⇔ y = z = 0; M ∈ Oy ⇔ x = z = 0; M ∈ Oz ⇔ x = y = 0 .
b) Tính chất: Cho A(xA; yA; zA), B(xB; yB; zB)
• AB→ = (xB - xA; yB - yA; zB - zA)
• Toạ độ trung điểm của đoạn thẳng AB:
• Toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC:
• Toạ độ trọng tâm G của tứ diện ABCD:
4. Tích có hướng của hai vectơ
a) Định nghĩa: Trong không gian Oxyz cho hai vectơ a→ = (a1; a2; a3), b→ = (b1; b2; b3). Tích có hướng của hai vectơ a→ và b→ kí hiệu là [a→, b→], được xác định bởi
Chú ý: Tích có hướng của hai vectơ là một vectơ, tích vô hướng của hai vectơ là một số.
b) Tính chất:
• [a→, b→] ⊥ a→; [a→, b→] ⊥ b→
• [a→, b→] = -[b→, a→]
• [i→, j→] = k→; [j→, k→] = i→; [k→, i→] = j→
• |[a→, b→]| = |a→|.|b→|.sin(a→, b→) (Chương trình nâng cao)
• a→, b→ cùng phương ⇔ [a→, b→] = 0→ (chứng minh 3 điểm thẳng hàng)
c) Ứng dụng của tích có hướng: (Chương trình nâng cao)
• Điều kiện đồng phẳng của ba vectơ: a→, b→ và c→ đồng phẳng ⇔ [a→, b→].c→ = 0
• Diện tích hình bình hành ABCD: SABCD = |[AB→], AD→|
• Diện tích tam giác ABC: SABC = 1/2 |[AB→], AC→|
• Thể tích khối hộp ABCDA'B'C'D' : VABCD.A'B'C'D' = |[AB→, AD→].AA'→|
• Thể tích tứ diện ABCD: VABCD = 1/6 |[AB→, AC→].AD→|
Chú ý:
– Tích vô hướng của hai vectơ thường sử dụng để chứng minh hai đường thẳng vuông góc, tính góc giữa hai đường thẳng.
– Tích có hướng của hai vectơ thường sử dụng để tính diện tích tam giác; tính thể tích khối tứ diện, thể tích hình hộp; chứng minh các vectơ đồng phẳng – không đồng phẳng, chứng minh các vectơ cùng phương.
5. Phương trình mặt cầu
a) Định nghĩa:
Cho điểm I cố định và một số thực dương R. Tập hợp tất cả những điểm M trong không gian cách I một khoảng R được gọi là mặt cầu tâm I, bán kính R.
Kí hiệu: S(I; R) ⇔ S(I; R) = {M|IM = R}
b) Vị trí tương đối giữa mặt cầu và mặt phẳng :
Lưu ý: Khi mặt phẳng (P) đi qua tâm I thì mặt phẳng (P) được gọi là mặt phẳng kính và thiết diện lúc đó được gọi là đường tròn lớn.
c) Vị trí tương đối giữa mặt cầu và đường thẳng :
* Lưu ý: Trong trường hợp Δ cắt (S) tại 2 điểm A, B thì bán kính R của (S) được tính như sau:
+ Xác định: d(I; Δ) = IH
+ Lúc đó:
ĐƯỜNG TRÒN TRONG KHÔNG GIAN OXYZ
* Đường tròn (C) trong không gian Oxyz, được xem là giao tuyến của (S) và mặt phẳng .
(S): x2 + y2 + z2 - 2ax -2by - 2cz + d = 0
(α): Ax + By + Cz + D = 0
* Xác định tâm I’ và bán kính R’ của (C).
+ Tâm I' = d ∩ (α) .
Trong đó d là đường thẳng đi qua I và vuông góc với mp(α)
+ Bán kính
d) Điều kiện tiếp xúc : Cho mặt cầu (S) tâm I, bán kính R.
+ Đường thẳng Δ là tiếp tuyến của (S) ⇔ d(I; Δ) = R
+ Mặt phẳng (α) là tiếp diện của (S) ⇔ d(I;(α)) = R
* Lưu ý: Tìm tiếp điểm Mo(xo; yo; zo) .
Sử dụng tính chất :
B. Kĩ năng giải bài tập
Dạng 1: VIẾT PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU
Phương pháp:
* Cách 1: Bước 1: Xác định tâm I(a; b; c) .
Bước 2: Xác định bán kính R của (S).
Bước 3: Mặt cầu (S) có tâm I(a; b; c) và bán kính R.
(S): (x - a)2 + (y - b)2 + (z - c)2 = R2
* Cách 2: Gọi phương trình (S): x2 + y2 + z2 -2ax - 2by - 2cz + d = 0
Phương trình (S) hoàn toàn xác định nếu biết được a, b, c, d. (a2 + b2 + c2 - d > 0)
Bài 1: Viết phương trình mặt cầu (S), trong các trường hợp sau:
a) (S) có tâm I(2; 2; -3) và bán kính R = 3 .
b) (S) có tâm I(1; 2; 0) và (S) qua P(2; -2; 1).
c) (S) có đường kính AB với A(1; 3; 1), B(-2; 0; 1).
Lời giải:
a) Mặt cầu tâm I(2; 2; -3) và bán kính R = 3, có phương trình:
(S): (x - 2)2 + (y - 2)2 + (z + 3)2 = 9
b) Ta có: IP→ = (1; -4; 1) ⇒ IP = 3√2.
Mặt cầu tâm I(1; 2; 0) và bán kính R = IP = 3√2 , có phương trình:
(S): (x - 1)2 + (y - 2)2 + z2 = 18
c) Ta có: AB→ = (-3; -3; 0) ⇒ AB = 3√2.
Gọi I là trung điểm AB ⇒
Mặt cầu tâm và bán kính , có phương trình:
Bài 2:Viết phương trình mặt cầu (S) , trong các trường hợp sau:
a) (S) qua A(3; 1; 0), B(5; 5; 0) và tâm I thuộc trục Õ.
b) (S) có tâm O và tiếp xúc mặt phẳng (α): 16x - 15y - 12z + 75 = 0.
c) (S) có tâm I(-1; 2; 0) và có một tiếp tuyến là đường thẳng
Lời giải:
a) Gọi I(a; 0; 0) ∈ Ox. Ta có : IA→ = (3-a; 1; 0), IB→ = (5-a; 5; 0).
Do (S) đi qua A, B ⇔ IA = IB ⇔ 4a = 40 ⇔ a = 10
⇒ I(10; 0; 0) và IA = 5√2.
Mặt cầu tâm I(10; 0; 0) và bán kính R = 5√2, có phương trình (S) : (x - 10)2 + y2 + z2 = 50
b) Do (S) tiếp xúc với (α) ⇔ d(O,(α)) = R ⇔ R = 75/25 = 3
Mặt cầu tâm O(0; 0; 0) và bán kính R = 3, có phương trình (S) : x2 + y2 + z2 = 9
c) Chọn A(-1; 1; 0) ∈ Δ ⇒ IA→ = (0; -1; 0).
Đường thẳng Δ có một vectơ chỉ phương là uΔ→ = (-1; 1; -3) . Ta có: [IA→, uΔ→] = (3; 0; -1) .
Do (S) tiếp xúc với Δ ⇔ d(I, Δ) = R .
Mặt cầu tâm I(-1; 2; 0) và bán kính R = √10/11 , có phương trình (S) :
Dạng 2 : SỰ TƯƠNG GIAO VÀ SỰ TIẾP XÚC
Phương pháp: * Các điều kiện tiếp xúc:
+ Đường thẳng Δ là tiếp tuyến của (S) ⇔ d(I; Δ) = R
+ Mặt phẳng (α) là tiếp diện của (S) ⇔ d(I; (α)) = R
* Lưu ý các dạng toán liên quan như tìm tiếp điểm, tương giao.
Bài 1: Cho đường thẳng và và mặt cầu (S): x2 + y2 + z2 - 2x + 4z + 1 = 0 . Số điểm chung của (Δ) và (S) là :
A. 0. B.1. C.2. D.3.
Lời giải:
Đường thẳng (Δ) đi qua M(0; 1; 2) và có một vectơ chỉ phương là u→ = (2; 1; -1)
Mặt cầu (S) có tâm I(1; 0; -2) và bán kính R = 2
Ta có MI→ = (1; -1; -4) và [u→, MI→] = (-5; 7; -3) ⇒
Vì d(I,Δ) > R nên (Δ) không cắt mặt cầu (S)
Bài 2: Cho điểm I(1; -2; 3). Phương trình mặt cầu tâm I và tiếp xúc với trục Oy là:
A. (x - 1)2 + (y + 2)2 + (z - 3)2 = √10
B. (x - 1)2 + (y + 2)2 + (z - 3)2 = 10
C. (x + 1)2 + (y 2 2)2 + (z + 3)2 = 10
D. (x - 1)2 + (y + 2)2 + (z - 3)2 = 9
Lời giải:
Gọi M là hình chiếu của I(1; -2; 3) lên Oy, ta có : M(0; -2; 0).
IM→ (-1; 0; -3) ⇒ R = d(I,Oy) = IM = √10 là bán kính mặt cầu cần tìm.
Phương trình mặt cầu là : (x - 1)2 + (y + 2)2 + (z - 3)2 = 10
Lý thuyết và bài tập trắc nghiệm có đáp án và lời giải chi tiết Toán lớp 12 khác:
- Lý thuyết Hệ tọa độ trong không gian
- Lý thuyết Phương trình mặt phẳng
- Lý thuyết Phương trình đường thẳng trong không gian
- Lý thuyết tổng hợp chương Phương pháp tọa độ trong không gian
Sách VietJack thi THPT quốc gia 2024 cho học sinh 2k6:
Săn shopee siêu SALE :
- Sổ lò xo Art of Nature Thiên Long màu xinh xỉu
- Biti's ra mẫu mới xinh lắm
- Tsubaki 199k/3 chai
- L'Oreal mua 1 tặng 3
- Soạn Văn 12
- Soạn Văn 12 (bản ngắn nhất)
- Văn mẫu lớp 12
- Giải bài tập Toán 12
- Giải BT Toán 12 nâng cao (250 bài)
- Bài tập trắc nghiệm Giải tích 12 (100 đề)
- Bài tập trắc nghiệm Hình học 12 (100 đề)
- Giải bài tập Vật lý 12
- Giải BT Vật Lí 12 nâng cao (360 bài)
- Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Vật Lý 12 (có đáp án)
- Bài tập trắc nghiệm Vật Lí 12 (70 đề)
- Luyện thi đại học trắc nghiệm môn Lí (18 đề)
- Giải bài tập Hóa học 12
- Giải bài tập Hóa học 12 nâng cao
- Bài tập trắc nghiệm Hóa 12 (80 đề)
- Luyện thi đại học trắc nghiệm môn Hóa (18 đề)
- Giải bài tập Sinh học 12
- Giải bài tập Sinh 12 (ngắn nhất)
- Chuyên đề Sinh học 12
- Đề kiểm tra Sinh 12 (có đáp án)(hay nhất)
- Ôn thi đại học môn Sinh (theo chuyên đề)
- Luyện thi đại học trắc nghiệm môn Sinh (18 đề)
- Giải bài tập Địa Lí 12
- Giải bài tập Địa Lí 12 (ngắn nhất)
- Giải Tập bản đồ và bài tập thực hành Địa Lí 12
- Bài tập trắc nghiệm Địa Lí 12 (70 đề)
- Luyện thi đại học trắc nghiệm môn Địa (20 đề)
- Giải bài tập Tiếng anh 12
- Giải bài tập Tiếng anh 12 thí điểm
- Giải bài tập Lịch sử 12
- Giải tập bản đồ Lịch sử 12
- Bài tập trắc nghiệm Lịch Sử 12
- Luyện thi đại học trắc nghiệm môn Sử (20 đề)
- Giải bài tập Tin học 12
- Giải bài tập GDCD 12
- Giải bài tập GDCD 12 (ngắn nhất)
- Bài tập trắc nghiệm GDCD 12 (37 đề)
- Luyện thi đại học trắc nghiệm môn GDCD (20 đề)
- Giải bài tập Công nghệ 12