Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây
Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây
A. Phương pháp giải
Định lý: Trong một đường tròn:
- Hai dây cung bằng nhau thì cách đều tâm,
- Hai dây cung cách đều tâm thì bằng nhau.
- Dây cung nào lớn hơn thì gần tâm hơn.
- Dây cung gần tâm hơn thì lớn hơn.
B. Bài tập tự luận
Bài 1: Cho hình vẽ sau, trong đó MN=PQ. Chứng minh rằng:
a, AE=AF
b, AN=AQ.
Hướng dẫn giải
Vì MN=PQ nên OE=OF( theo định lý liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây)
Xét tam giác vuông AOE và tam giác vuông AOF có:
OE=OF ( chứng minh trên)
AO: chung
Suy ra ΔAOE = ΔAOF ( cạnh huyền-cạnh góc vuông)
Suy ra AE=AF( 2 cạnh tương ứng)(1)
Vì OE⊥MN nên ME=NE (tính chất đường kính và dây cung)
Vì OF⊥PQ nên PF=QF (tính chất đường kính và dây cung)
Mà MN=PQ
Suy ra ME=NE=PF=QF.(2)
Từ (1) và (2) suy ra AN=AQ.
Bài 2: Cho đường tròn(O), dây AB và dây CD, AB < CD. Giao điểm K của các đường thẳng AB, CD nằm ngoài đường tròn. Đường tròn (O;OK) cắt KA và KC tại M và N.
Chứng minh KM < KN.
Hướng dẫn giải
Kẻ OI ⊥AB, OE ⊥ CD.
Xét đường tròn (O;OA) có: AB và CD là dây cung, AB < CD. Suy ra OI > OE.
Xét đường tròn (O;OK) có KN và KM là dây cung và OI > OE. Suy ra KM < KN.
Bài 3: Cho đường tròn (O), hai dây AB, CD bằng nhau và cắt nhau tại điểm I nằm bên trong đường tròn. Chứng minh rằng:
a, IO là tia phân giác của một trong hai góc tạo bởi hai dây AB và CD.
b, Điểm I chia AB, CD thành các đoạn thẳng bằng nhau đôi một.
Hướng dẫn giải
a, Kẻ OH ⊥ AB; OK ⊥ CD.
Vì CD=AB nên OK=OH.
Xét tam giác vuông IKO và tam giac vuông IOH ta có:
OK=OH
IO: chung
Suy ra Δ IKO = ΔIOH ( cạnh huyền-cạnh góc vuông)
=> ∠KIO = ∠OIH ( 2 góc tương ứng)
Suy ra OI là tia phân giác của góc BID
b, Theo câu a, Δ IKO = ΔIOH ( cạnh huyền-cạnh góc vuông)
=> IH=IK.
Xét đường tròn tâm (O), ta có: OK ⊥ CD nên suy ra CK=KD( định lý về đường kính và dây) (1)
Xét đường tròn tâm (O), ta có: OH ⊥ AB nên suy ra AH=HB (định lý về đường kính và dây) (2)
Từ (1) và (2) ta có: CK=AH
Mặt khác, IH=IK
Suy ra AI=CI
Vì CD=AB, mà AI=CI(chứng minh trên) nên ta suy ra ID=IB.
Bài 4: Cho đường tròn (O), các bán kính OA và OB. Trên cung nhỏ AB lấy các điểm M và N sao cho AM=BN. Gọi C là giao điểm của các đường thẳng AM và BN. Chứng minh rằng:
a, OC là tia phân giác của góc AOB.
b, OC vuông góc AB.
Hướng dẫn giải
Xét đường tròn tâm (O) có AM=BN
Từ đó ta suy ra OE=OD (tính chất quan hệ giữa đường kính và dây cung)
Xét tam giác vuông AOD và tam giác vuông BOE có:
OA=OB(cùng bằng bán kính)
OE=OD(chứng minh trên)
=> ΔAOD = ΔBOE (cạnh huyền-cạnh góc vuông)
=> ∠O1 = ∠O4 (2 góc tương ứng)(1)
Tương tự ta có: ∠O2 = ∠O3 (2)
Ta có: ∠AOC = ∠O1 + ∠O2
∠BOC = ∠O3 + ∠O4
Từ (1) và (2) ta suy ra ∠AOC= ∠BOC
Suy ra OC là tia phân giác của góc AOB.
Xét tam giác OBF và tam giác OAF có:
∠AOC = ∠BOC (chứng minh trên)
OA=OB
OF: chung
Suy ra ΔOBF = ΔOAF (c-g-c)
=> BF=AF( 2 cạnh tương ứng)
=> OC ⊥ AB
Tham khảo thêm các Chuyên đề Toán lớp 9 khác:
- Đường tròn
- Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây
- Vị trí tương đối của đường thẳng với đường tròn. Tiếp tuyến của đường tròn
Mục lục các Chuyên đề Toán lớp 9:
- Chuyên đề Đại Số 9
- Chuyên đề: Căn bậc hai
- Chuyên đề: Hàm số bậc nhất
- Chuyên đề: Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn
- Chuyên đề: Phương trình bậc hai một ẩn số
- Chuyên đề Hình Học 9
- Chuyên đề: Hệ thức lượng trong tam giác vuông
- Chuyên đề: Đường tròn
- Chuyên đề: Góc với đường tròn
- Chuyên đề: Hình Trụ - Hình Nón - Hình Cầu
Tủ sách VIETJACK shopee luyện thi vào 10 cho 2k9 (2024):
Săn shopee siêu SALE :
- Sổ lò xo Art of Nature Thiên Long màu xinh xỉu
- Biti's ra mẫu mới xinh lắm
- Tsubaki 199k/3 chai
- L'Oreal mua 1 tặng 3
Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi online, Bài giảng....miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS.
Theo dõi chúng tôi miễn phí trên mạng xã hội facebook và youtube:Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn.
- Soạn Văn 9
- Soạn Văn 9 (bản ngắn nhất)
- Văn mẫu lớp 9
- Đề kiểm tra Ngữ Văn 9 (có đáp án)
- Giải bài tập Toán 9
- Giải sách bài tập Toán 9
- Đề kiểm tra Toán 9
- Đề thi vào 10 môn Toán
- Chuyên đề Toán 9
- Giải bài tập Vật lý 9
- Giải sách bài tập Vật Lí 9
- Giải bài tập Hóa học 9
- Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Hóa học 9 (có đáp án)
- Giải bài tập Sinh học 9
- Giải Vở bài tập Sinh học 9
- Chuyên đề Sinh học 9
- Giải bài tập Địa Lí 9
- Giải bài tập Địa Lí 9 (ngắn nhất)
- Giải sách bài tập Địa Lí 9
- Giải Tập bản đồ và bài tập thực hành Địa Lí 9
- Giải bài tập Tiếng anh 9
- Giải sách bài tập Tiếng Anh 9
- Giải bài tập Tiếng anh 9 thí điểm
- Giải sách bài tập Tiếng Anh 9 mới
- Giải bài tập Lịch sử 9
- Giải bài tập Lịch sử 9 (ngắn nhất)
- Giải tập bản đồ Lịch sử 9
- Giải Vở bài tập Lịch sử 9
- Giải bài tập GDCD 9
- Giải bài tập GDCD 9 (ngắn nhất)
- Giải sách bài tập GDCD 9
- Giải bài tập Tin học 9
- Giải bài tập Công nghệ 9