Tứ giác nội tiếp
Tứ giác nội tiếp
A. Phương pháp giải
1. Một tứ giác có bốn đỉnh nằm trên một đường tròn được gọi là tứ giác nội tiếp đường tròn (gọi tắt là tứ giác nội tiếp).
2. Trong một tứ giác nội tiếp, tổng số đo hai góc đối diện bằng .
3. Nếu trong một tứ giác có tổng số đo hai góc đối diện bằng thì tứ giác đó nội tiếp được đường tròn.
4. Nếu một tứ giác lồi có hai đỉnh kề nhau cùng nhìn cạnh chứa hai đỉnh còn lại dưới một góc thì tứ giác đó nội tiếp được đường tròn.
B. Bài tập tự luận
Bài 1: Cho ΔABC nhọn, các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. Chứng minh rằng:
a) Tứ giác BCEF nội tiếp.
b) HA.HD = HB.HE = HC.HF.
Hướng dẫn giải
a) Ta có ∠BEC = ∠BFC = 90o
Suy ra các điểm E, F cùng thuộc đường tròn đường kính BC hay tứ giác BCEF nội tiếp.
b) Vẽ đường tròn đường kính BC. Xét ΔBHF và ΔCHE có:
+) ∠EBF = ∠ECF (hai góc nội tiếp cùng chắn ).
+) ∠FHB = ∠EHC(đối đỉnh).
Suy ra ΔBHF ∼ ΔCHE (g.g)
BH/CH = HF/HE hay HB.HE = HC.HF (1)
Chứng minh tương tự ta có:
HA.HD = HB.HE (2)
Từ (1) và (2) suy ra: HA.HD = HB.HE = HC.HF.
Bài 2: Cho ΔABC nhọn, đường cao AH. Các điểm M và N lần lượt là hình chiếu vuông góc của H trên AB, AC. Chứng minh rằng:
a) AM.AB = AN.AC.
b) Tứ giác BMNC nội tiếp.
Hướng dẫn giải
a) Ta có: ∠AMH = ∠ANH = 90o (gt)
Suy ra các điểm M, N cùng thuộc đường tròn đường kính AH nên:
∠AMN = ∠AHN (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AN)
Mặt khác: ∠AHN = ∠ACH
Do đó ΔAMN ∼ ΔACB (g.g) => AM/AC = AN/AB hay AM.AB = AN.AC.
b) Theo chứng minh câu a) ta có:
∠AMN = ∠ACH
Suy ra ∠BMN + ∠ACH = ∠BMN + ∠AMN = 180o
Vậy tứ giác BMNC nội tiếp.
Bài 3: Cho tam giác ABC có góc. Các điểm O, I lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác. Chứng minh rằng bốn điểm B, O, I, C cùng thuộc một đường tròn.
Hướng dẫn giải
Gọi D là giao điểm khác của A của đường thẳng AI với đường tròn ngoại tiếp ΔABC .
Ta có: ∠BID = ∠IAB + ∠ABI = 1/2 ∠A + 1/2 ∠B
∠CID = ∠IAC + ∠ACI = 1/2 ∠A + 1/2 ∠C
Do đó: ∠BIC = ∠BID + ∠CID = 1/2 ∠A + 1/2∠B + 1/2∠C + 1/2∠A =1/2∠A + 90o
Mặt khác: ∠BOC = 2∠A = 120o.
Do đó hai điểm I và O cùng nhìn đoạn BC dưới những góc bằng nhau. Ngoài ra hai điểm I và O cùng thuộc nửa mặt phẳng chứa A, bờ BC. Do đó B, I, O, C cùng thuộc một đường tròn.
Bài 4: Cho tam giác ABC nhọn có ∠A > ∠B > ∠C. Đường tròn nội tiếp tâm I tiếp xúc với cạnh AB, AC tại M và N. Gọi P và Q lần lượt là các giao điểm của CI, BI với đường thẳng MN. Chứng minh rằng:
a) Tứ giác INQC nội tiếp.
b) Tứ giác BPQC nội tiếp.
Hướng dẫn giải
a) Vì đường tròn (I) tiếp xúc với AB, AC tại M và N nên AM = AN
=> ΔAMN cân tại A.
Ta có: ∠CNQ = ∠ANM (đối đỉnh)
= (180o - ∠A)/2 =(∠B + ∠C)/2
=∠IBC + ∠ICB = ∠CIQ
Tứ giác INQC có hai điểm liên tiếp I và N cùng nhìn cạnh QC dưới các góc bằng nhau nội tiếp được một đường tròn.
b) Vì INQC là tứ giác nội tiếp nên ∠INC = ∠IQC
Vì AC tiếp xúc với đường tròn (I) tại N nên IN ⊥ AC hay ∠INC = 90o
Suy ra ∠IQC = 90o (1)
Chứng minh tương tự câu a) ta có tứ giác IMPB nội tiếp
=> ∠IMB = ∠IPB = 90o
Từ (1) và (2) suy ra: ∠BPC = ∠BQC = 90o nên tứ giác BPQC nội tiếp đường tròn đường kính BC.
Bài 5: Cho hình bình hành ABCD có ∠BAD = 90o, có tâm là O. Gọi M, N, P lần lượt là hình chiếu vuông góc của C lên BD, AD, AB. Chứng minh bốn điểm M, N, P, O cùng thuộc một đường tròn.
Hướng dẫn giải
Ta có: ∠CPA = ∠CNA = 90o (gt) nên tứ giác ANCP nội tiếp đường tròn (O) đường kính AC.
Suy ra ∠PON = 2∠PCN
Lại có: ∠PCN + ∠NAP = 180o
=> ∠PCN = 180o - ∠NAP = ∠ABC (do AD // BC)
Do đó ∠PON = 2∠ABC (1)
Mặt khác ∠PMN = 180o - (∠PMB + ∠NMD)
Mà tứ giác CDNM nội tiếp đường tròn đường kính CD nên:
∠NMD = ∠NCD = 90o - ∠CDN = 90o - ∠ABC
Lại có tứ giác BCMP nội tiếp đường tròn đường kính BC nên:
∠PMB = ∠PCB = 90o - ∠ABC
=> ∠PCB = 180o - (90o - ∠ABC + 90o - ∠ABC) = 2∠ABC (2)
Từ (1) và (2) suy ra: ∠PON = ∠PMN do đó tứ giác POMN nội tiếp.
Tham khảo thêm các Chuyên đề Toán lớp 9 khác:
Mục lục các Chuyên đề Toán lớp 9:
- Chuyên đề Đại Số 9
- Chuyên đề: Căn bậc hai
- Chuyên đề: Hàm số bậc nhất
- Chuyên đề: Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn
- Chuyên đề: Phương trình bậc hai một ẩn số
- Chuyên đề Hình Học 9
- Chuyên đề: Hệ thức lượng trong tam giác vuông
- Chuyên đề: Đường tròn
- Chuyên đề: Góc với đường tròn
- Chuyên đề: Hình Trụ - Hình Nón - Hình Cầu
Tủ sách VIETJACK shopee luyện thi vào 10 cho 2k9 (2024):
Săn shopee siêu SALE :
- Sổ lò xo Art of Nature Thiên Long màu xinh xỉu
- Biti's ra mẫu mới xinh lắm
- Tsubaki 199k/3 chai
- L'Oreal mua 1 tặng 3
Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi online, Bài giảng....miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS.
Theo dõi chúng tôi miễn phí trên mạng xã hội facebook và youtube:Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn.
- Soạn Văn 9
- Soạn Văn 9 (bản ngắn nhất)
- Văn mẫu lớp 9
- Đề kiểm tra Ngữ Văn 9 (có đáp án)
- Giải bài tập Toán 9
- Giải sách bài tập Toán 9
- Đề kiểm tra Toán 9
- Đề thi vào 10 môn Toán
- Chuyên đề Toán 9
- Giải bài tập Vật lý 9
- Giải sách bài tập Vật Lí 9
- Giải bài tập Hóa học 9
- Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Hóa học 9 (có đáp án)
- Giải bài tập Sinh học 9
- Giải Vở bài tập Sinh học 9
- Chuyên đề Sinh học 9
- Giải bài tập Địa Lí 9
- Giải bài tập Địa Lí 9 (ngắn nhất)
- Giải sách bài tập Địa Lí 9
- Giải Tập bản đồ và bài tập thực hành Địa Lí 9
- Giải bài tập Tiếng anh 9
- Giải sách bài tập Tiếng Anh 9
- Giải bài tập Tiếng anh 9 thí điểm
- Giải sách bài tập Tiếng Anh 9 mới
- Giải bài tập Lịch sử 9
- Giải bài tập Lịch sử 9 (ngắn nhất)
- Giải tập bản đồ Lịch sử 9
- Giải Vở bài tập Lịch sử 9
- Giải bài tập GDCD 9
- Giải bài tập GDCD 9 (ngắn nhất)
- Giải sách bài tập GDCD 9
- Giải bài tập Tin học 9
- Giải bài tập Công nghệ 9