Giải bài 16 trang 102 sgk Hình học 12

Ôn tập cuối năm Hình học 12

Bài 16 (trang 102 SGK Hình học 12): Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng (α) có phương trình 4x + y + 2z + 1 = 0 và mặt phẳng (β) có phương trình 2x – 2y + z + 3 = 0.

Quảng cáo

a) Chứng minh rằng (α) cắt (β).

b) Viết phương trình tham số của đường thẳng d là giao của (α) và (β).

c) Tìm điểm M' đối xứng với điểm M(4; 2; 1) qua mặt phẳng (α).

d) Tìm điểm N' đối xứng với điểm N(0; 2; 4) qua đường thẳng d.

Lời giải:

a) Hai mp(α) và (β) có VTPT lần lượt là $\vec{n_{1}}$ = (4; 1; 2); $\vec{n_{2}}$ = (2; -2; 1)

Ta có: $\frac{4}{2} \neq \frac{1}{- 2} \neq \frac{2}{1}$ nên hai vectơ trên không cùng phương.

Suy ra, hai mặt phẳng đã cho cắt nhau.

Quảng cáo

b) Gọi d là giao tuyến của hai mp(α) và (β).

Gọi VTCP của d là $\vec{u}$

Ta có: $\vec{u} ⊥ \vec{n_{1}}; \vec{u} ⊥ \vec{n_{2}} \Rightarrow \vec{u} = [\vec{n_{1}}; \vec{n_{2}}]$ = (5; 0; -10) = 5(1; 0; -2)

Lại có điểm A(0; 1; –1) thuộc d (do A vừa thuộc (α) vừa thuộc (β)) nên phương trình của d là:

$\{\begin{matrix} x = t \\ y = 1 \\ z = - 1 - 2 t \end{matrix}$

Quảng cáo

c) Có M’ đối xứng với M qua mp(α), gọi đường thẳng MM’ cắt mp(α) tại điểm H

Khi đó, H là trung điểm của MM’ và VTPT của mp(α) là VTCP của đường thẳng MM’.

Phương trình đường thẳng MM’ là: $\{\begin{matrix} x = 4 + 4 t \\ y = 2 + t \\ z = 1 + 2 t \end{matrix}$

Trung điểm H thuộc đường thẳng MM’ nên tọa độ điểm H(4 + 4t; 2 + t; 1 + 2t).

Lại có, điểm H thuộc mp(α) nên thay tọa độ điểm H vào phương trình mp(α) ta được:

4.(4 + 4t) + (2 + t) + 2. (1 + 2t) + 1 = 0

⇔ 21t + 21 = 0 nên t = –1.

Suy ra, tọa độ điểm H(0; 1; –1)

Vì H là trung điểm của MM’ nên tọa độ M’ là:

Giải bài 16 trang 102 sgk Hình học 12 | Để học tốt Toán 12

Quảng cáo

d) Đường thẳng d có VTCP là $\vec{u}$ = (1; 0; -2).

Lấy điểm K(t; 1; –1 – 2t) thuộc đường thẳng d.

Ta có: $\vec{NK}$ = (t; -1; -2t - 5)

Vì K là hình chiếu vuông góc của N trên đường thẳng d nên:

Suy ra: 1.t – 0.1 – 2.(– 2t – 5) = 0

⇔ t + 4t + 10 = 0

⇔ 5t + 10 = 0 nên t = –2.

Vậy K(– 2; 1; 3).

Vì N’ đối xứng với N qua đường thẳng d nên K là trung điểm của NN’.

Suy ra tọa độ điểm N’ là Giải bài 16 trang 102 sgk Hình học 12 | Để học tốt Toán 12 .

Các bài giải bài tập Hình học 12 Ôn tập cuối năm Hình học 12 khác :

Các bài giải Hình học 12 Chương 3 khác:

Sách VietJack thi THPT quốc gia 2024 cho học sinh 2k6:

Săn shopee siêu SALE :

ĐỀ THI, GIÁO ÁN, GÓI THI ONLINE DÀNH CHO GIÁO VIÊN VÀ PHỤ HUYNH LỚP 12

Bộ giáo án, đề thi, bài giảng powerpoint, khóa học dành cho các thầy cô và học sinh lớp 12, đẩy đủ các bộ sách cánh diều, kết nối tri thức, chân trời sáng tạo tại https://tailieugiaovien.com.vn/ . Hỗ trợ zalo VietJack Official