Bài tập số phức hay và khó (Phần 2) - Lý thuyết và bài tập đầy đủ các dạng có đáp án



Bài tập số phức hay và khó (Phần 2)

Câu 10. Trong mặt phẳng phức Oxy, tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn:

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

là hai đường thẳng d1 ; d2. Khoảng cách giữa 2 đường thẳng d1 ; d2 là bao nhiêu?

A. d(d1 ; d2) = 2.    B. d(d1 ; d2) = 4.    C. d(d1 ; d2) = 1.    D. d(d1 ; d2) = 6.

Đáp án : B

Giải thích :

Gọi M(x; y) là điểm biểu diễn số phức z = x + yi

Ta có:

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

⇔ |x2 + 2xyi - y2 + x2 - 2xyi - y2 + 2x2 + 2y2| = 16

⇔ | 4x2| = 16 ⇔ x = ± 2

=< d(d1 ; d2)=4.

Câu 11. Gọi (H) là hình biểu diễn tập hợp các số phức z trong mặt phẳng tọa độ Oxy để Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án số phức z có phần thực không âm. Tính diện tích hình (H).

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Đáp án : A

Giải thích :

Giả sử z = a + bi , khi đó Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án, giả thiết của bài toán là

|2a + 2bi - (a - bi)| ≤ 3 ⇔ |a + 3bi| ≤ 3 ⇔ a2 + 9b2

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Vậy tập hợp các điểm biểu diễn cho số phức z là điểm M(a;b) thuộc miền trong của elip:

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

(kể cả các điểm trên biên).

+ Bán trục lớn của (E) là a = 3, bán trục bé của (E) là b = 1 nên diện tích cần tính của miền (H) là S = πab = 3π .

Câu 12. Cho số phức z thỏa mãn điều kiện |z - 1| = √2. Tìm giá trị lớn nhất của T = | z + i| + |z - 2 - i|

A. max T = 8√2.    B. max T = 4 .    C. max T = 4√2.    D. maxT = 8 .

Đáp án : B

Giải thích :

T = | z + i| + |z - 2 - i| = |(z - 1) + (1 + i)| + |(z - 1) - (1 + i)|

Đặt w = z - 1. Ta có |w| = 1 và T = |w + (1 + i)| + |w - (1 + i)|

Đặt w = x + yi . Khi đó |w|2 = 1 = x2 + y2

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Vậy maxT = 4 .

Câu 13. Cho số phức z thoả mãn |z| = 1. Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = |z + 1| + |z2 - z + 1|. Tính giá trị của M.n

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Đáp án : A

Giải thích :

Cách 1:

Re(z) là phần thực của số phức z, Im(z) là phần ảo của số phức z, |z| = 1 nên z.Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án = 1

Đặt t = |z + 1|, ta có: 0 = |z| - 1 ≥ |z + 1| ≥ |z| + 1 = 2 => t ∈ [0; 2]

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Xét hàm số: f(t) = t + |t2 - 3|; t ∈ [0; 2].

Xét 2 TH:

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Cách 2:

z = r(cosx + isinx) = a + bi

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Câu 14. Cho số phức z thoả mãn |z - 3 - 4i| = √5. Gọi M và m là giá trị lớn nhất và giá trị nhỉ nhất của biểu thức P = |z + 2|2 - |z - i|2. Tính module số phức w = M + mi

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Đáp án : B

Giải thích :

Cách 1:

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

f'(x) = 8(x - 3) - 8(P - 4x - 11) = 0

⇔ x = 0,2P - 1,6

=> y = 0,1P + 1,7

Thay vào f(x) ta được:

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Cách 2:

|z - 3 - 4i| = √5. Nên (x - 3)2 + (y - 4)2 = 5 (C)

Δ 4x + 2y + 3 - P = 0. Tìm P sao cho đường thẳng ∆ và đường tròn (C) có điểm chung

⇔ d(I; Δ) ≤ R ⇔ |23 - P| ≤ 10 ⇔ 13 ≤ P ≤ 33

Vậy Max P = 33; MinP = 12

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Câu 15. Cho số phức z thoả mãn|z| = 1. Gọi M và m là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức:

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Tính M + m

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Đáp án : D

Giải thích :

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Vậy minP = Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án; maxP = 3 khi t = 2

M + n = Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Câu 16 . Cho ba số phức z1; z2; z3 thoả mãn hệ:

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Tính giá trị của biểu thức: T = |az1 + zb2 + cz3|

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Ta có 0 = sinx + siny + sin(-x - y)

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Suy ra hoặc x = k2π hoặc y = k2π hoặc x + y= k2π do đó hai trong ba số z1; z2; z3 bằng nhau.

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Vậy T nhận một trong ba giá trị sau:

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Câu 17. Cho số phức z thay đổi và thỏa mãn |z - 1 - i| = 5. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = 2|z - 8i| - |z - 7- 9i|

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Gọi M(x ; y) biểu diễn số phức z, từ |z - 1 - i| = 5 thì M nằm trên đường tròn

(x - 1)2 + (y - 1)2 = 25 có tâm và bán kính :I(1 ;1) và R = 5.

Gọi A(0 ;8) ; B(7 ; 9) thì

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Phân tích : mục tiêu tìm tọa độ điểm sao cho MB = 2MC, nhận thấy IB = 2IM = 2R nên ta có hai cách tìm tọa độ điểm C như sau :

Cách 1 :

(x - 1)2 + (y - 1)2 = 25 ⇔ T = x2 + y2 - 23 = 0

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Nên chọn điểm Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án thì MB = 2MC

Cách 2 : Lấy điểm C thỏa mãn Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án thì tam giác đồng dạng với tam giác IBM nên ta có MB = 2MC, từ đó Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Ta có : P = 2MA - MB = 2(MA - MC) ≤ 2AC = 5√5

Dấu "=" đạt được khi điểm C nằm trên đoạn AM.

Câu 18. Cho số phức z thoả mãn:

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Giá trị lớn nhất của biểu thức P = |z - 5 - 2i| bằng

A. √2 + 5√3     B. √2 + 3√5

C. √5 + 2√3     D. √5 + 3√2

Đáp án : B

Giải thích :

Cách 1: Đại số

Đặt z = a + bi.

Từ giả thiết

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Dễ thấy P lớn nhất khi ab ≤ 0.

Khi đó :

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Do a;b ≤ 0 nên từ (1) ta có (a + 1)2 + (b + 1)2 = 2.

Suy ra

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Dấu "=" xảy ra khi

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Chọn B.

Cách 2: Hình học

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Đặt z = a + bi.

Từ giả thiết

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Tập hợp M biểu diễn z thuộc các phần đường tròn cùng bán kính là R = √2 có tâm là A(-1;1); B(1;1); C(1;-1); D(-1; -1) nằm chọn vẹn trong 1 góc phần tư (bỏ đi các cung nhỏ).

P = ME với E(5;2). Từ hình vẽ ta thấy max P = HE = ED + radic;2 = 3√5 + √2 .

Quảng cáo

Chuyên đề Toán 12: Đầy đủ lý thuyết và các dạng bài tập có đáp án khác:

Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, soạn văn, văn mẫu.... Tải App để chúng tôi phục vụ tốt hơn.

Tải App cho Android hoặc Tải App cho iPhone

Loạt bài Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán lớp 12 Đại số, Giải tích và Hình học có đáp án có đầy đủ Lý thuyết và các dạng bài được biên soạn bám sát nội dung chương trình sgk Giải tích 12 và Hình học 12.

Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn.


so-phuc.jsp


Các loạt bài lớp 12 khác