Bài tập sử dụng tính đơn điệu để giải phương trình logarit



Chuyên đề: Phương trình logarit

Bài tập sử dụng tính đơn điệu để giải phương trình logarit

Bài 1: Giải phương trình log23 x + (x-12)log3 x + 11 - x = 0

Bài 2: Giải phương trình log3 (2x+1) = x

Bài 3: Giải phương trình log2 (2x+1) + log3 (4x+2) = 2.

Bài 4: Giải phương trình: log3 (x2+x+1) - log3 x = 2x-x2

Bài 5: Giải phương trình logx (x+1) = log1,5

Bài 6: Giải phương trình

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Bài 7: Giải phương trình ln(sin2 x) - 1 + sin3 x = 0.

Bài 8: Giải phương trình log2 (x-2) = log3 (x-1).

Đáp án và Hướng dẫn giải

Bài 1:

Điều kiện: x > 0

Đặt log3 x = t . Khi đó phương trình đã cho trở thành

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Với t=1 ⇒ x=3.

Với t=11-x ⇒ log3 x = 11-x. Phương trình này có một nghiệm là x = 9; vế trái là hàm đồng biến, vế phải là hàm nghịch biến nên phương trình có duy nhất môt nghiệm x = 9.

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là {3;9}

Bài 2:

Đặt log3 (2x+1) = x ⇔ 3x = 2x+1 ⇔ 3x - 2x + 1 = 0(*).

Phương trình (*) có hai nghiệm là x=0; x=1

Xét hàm số f(x) = 3x - 2x + 1.

Ta có f'(x) = 3x ln3 - 2; f''(x) = 3x ln2 3 > 0 ⇒ f'(x) là hàm đồng biến trên R. Suy ra phương trình f'(x)=0 có nhiều nhất một nghiệm (1).

Mặt khác ta có f'(0).f'(1) > 0 (2). Từ (1) và (2) suy ra phương trình f'(x)=0 có duy nhất một nghiệm và f'(x) đổi dấu khi qua nghiệm đó, nên phương trình f(x)=0 có nhiều nhất hai nghiệm.

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là {0;1}

Bài 3:

+) x = 0 là một nghiệm của phương trình.

+) Với x > 0,ta có: 2x+1 > 20+1=2 ⇒ log2 (2x+1) > log2 2 = 1

4x+2 > 40+2=3 ⇒ log3 (4x+1) > log3 3=1

⇒ VT = log2 (2x+1)+log3 (4x+1) > 2 = VP

+) Với x ≤ 0,ta có: 2x+1 < 20+1=2 ⇒ log2 (2x+1) < log2 2 = 1

4x+2 < 40+2 = 3 ⇒ log3 (4x+1) < log3 3 = 1

⇒ VT = log2 (2x+1)+log3 (4x+1) < 2 = VP

Vậy nghiệm của phương trình là: x = 0.

Bài 4:

Điều kiện: x > 0.

Phương trình:

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Xét hàm số: f(x) = 2x-x2; f'(x) = 2-2x; f'(x) = 0 ⇔ x = 1 .

BBT

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Căn cứ BBT f(x) ≤ 1. Hay VP ≤ 1.

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Vậy phương trình đã cho tương đương với

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Vậy nghiệm của phương trình là: x=1.

Bài 5:

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

+) Với x ∈ (0;1): x+1 > 1 ⇒ VT = logx (x+1) < logx 1 = 0

VP = log1,5 > 0. Suy ra phương trình vô nghiệm Với x ∈ (0;1).

+) Với x ∈ (1;+∞): x+1 > x ⇒ VT = logx (x+1) > logx x = 1

VP = log1,5 < 1. Suy ra phương trình vô nghiệm Với x ∈ (1;+∞).

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.

Bài 6:

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Ta có:

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Vậy phương trình tương đương với

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Bài 7:

Điều kiện: sinx ≠ 0.

ln(sin2 x) - 1 + sin3 x=0 ⇔ ln(sin2 x)-1 = 1-sin3 x

Ta có: VT = ln(sin2 x)-1 ≤ ln1-1=0.

VP = 1-sin3 x ≥ 0

Vậy phương trình tương đương với

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Bài 8:

Điều kiện của phương trình là

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Đặt log2 (x-2) = log3 (x-1) = t

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Dễ thấy t = 1 là một nghiệm của(*).

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Kết hợp với điều kiện, ta được tập nghiệm của phương trình đã cho là {4}.

Chuyên đề Toán 12: đầy đủ lý thuyết và các dạng bài tập có đáp án khác:

Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, soạn văn, văn mẫu.... Tải App để chúng tôi phục vụ tốt hơn.

Tải App cho Android hoặc Tải App cho iPhone

Loạt bài Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán lớp 12 Đại số, Giải tích và Hình học có đáp án có đầy đủ Lý thuyết và các dạng bài được biên soạn bám sát nội dung chương trình sgk Giải tích 12 và Hình học 12.

Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn.


phuong-trinh-logarit.jsp


Các loạt bài lớp 12 khác