Bài tập tìm tâm, bán kính mặt cầu ngoại tiếp (phần 2) - Bài tập đầy đủ các dạng có đáp án

Đáp án : A

Giải thích :

Gọi O là tâm đáy ABC

⇒ SO ⊥ (ABC)

⇒ Góc giữa cạnh bên SA và mặt đáy là góc ∠(SAO) =30º

Xét ∆SAO vuông tại O có:

Áp dụng công thức giải nhanh:

Diện tích mặt cầu:

Đáp án : D

Giải thích :

Gọi M là trung điểm của B’C’

Ta có : (A' AM) ⊥ B'C' ⇒ AM ⊥ B'C'

A'M ⊥ B'C'

⇒ Góc giữa (AB’C’) và (A’B’C’) là góc giữa AM và A’M

⇒ ∠(AMA') =60º

∆A’B’C’ đều cạnh a

Đường trung trực của GA’ cắt GA’ tại N và cắt GG’ tại I

⇒ I là tâm đường tròn ngoại tiếp khối chóp G.A’B’C’

Xét ∆A’GA vuông tại A có:

Ta có: ∆GIN ~ ∆GA'G'

Diện tích mặt cầu ngoại tiếp khối chóp là:

Đáp án : D

Giải thích :

ABCD là hình thoi cạnh a, ∠(BAD) =60º

⇒ ∆ABD đều cạnh a

Gọi P là trung điểm SA, Q là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác SAB

(Q ∈ SM)

Ta có

Gọi d₁ là trục của đường tròn ngoại tiếp tam giác đều ABD (T là tâm của tam giác đều ABD)

d₂ là đường thẳng đi qua Q và vuông góc (SAB)

O = d₁ ∩ d₂

MQOT là hình chữ nhật,

Bán kính mặt cầu

Thể tích khối cầu là:

Đáp án : B

Giải thích :

Gọi H là trung điểm của AD suy ra SH ⊥ (ABCD).

Dễ thấy tâm I của mặt cầu nằm trên trục d đi qua trung điểm O của MN và vuông góc với mặt phẳng (ABCD), I và S cùng phía so với mp (ABCD).

Ta có:

∆HNO vuông tại N có:

Ta có: OC²+OI²=R²=IK²+KS²

Đặt OI=x thì ta có:

Đáp án : D

Giải thích :

Ta có

Lại có

Đáp án : A

Giải thích :

R₁ là bán kính mặt cầu nội tiếp hình lập phương cạnh a

⇒ R₁=a/2

R₂ là bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương cạnh a

⇒ R₂=(a√3)/2

Khi đó:

Đáp án : B

Giải thích :

Ta có SA = SB = SC nên S nằm trên trục đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Gọi O là trung điểm của BC.

Vì ∆ABC vuông tại A nên O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Do đó SO chính là trục của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC hay SO ⊥ (ABC)

Gọi K là trung điểm của AB. Do ∆SAB cân tại S nên SK ⊥ AB

KO là đường trung bình của ∆ABC nên KO // AC

Mà AC ⊥ AB nên KO ⊥ AB

Theo đề bài, góc giữa (SAB) và (ABC) bằng 60º

⇒ ∠(SKO) = 60º

Ta có: OK=AC/2=a

Trong ∆SKO vuông tại O có:

SO=KO.tan⁡∠(SKO) =a.tan⁡60º=a√3

Trong mặt phẳng (SBC), đường trung trực của SC cắt SO tại J

⇒ J là tâm của đường tròn ngoại tiếp ∆SBC

Mặt khác:

⇒ JS = JA = JB = JC

⇒ J là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC

Lúc đó, bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp là R = SJ

Gọi I là trung điểm của SC

Ta có: ∆SIJ ~ ∆SOC

Với:

Vậy diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC là: