Bài tập tìm tâm, bán kính mặt cầu ngoại tiếp - Bài tập đầy đủ các dạng có đáp án



Chuyên đề: Mặt cầu

Bài tập tìm tâm, bán kính mặt cầu ngoại tiếp

Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang cân ABCD với AB=2a, BC=CD=DA=a và SA (ABCD). Một mặt phẳng qua A vuông góc với SB và cắt AB, SC, SD lần lượt tại M, N, P. Tính đường kính khối cầu ngoại tiếp khối ABCDMNP.

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Đáp án : B

Giải thích :

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Nhận xét hình thang ABCD cân và AB =2AD =2BC = 2CD =2a nên ∠(ACB) = ∠(ADB) = 90º

Mặt phẳng qua A vuông góc với SB tại M nên AMB = 90º.

Ta có BC ⊥ AC và BC ⊥ SA nên BC ⊥ (SAC)

Do đó AN ⊥ BC và AN ⊥ SB nên AN ⊥ (SBC)

⇒ AN ⊥ BN, hay ANB = 90º

Ta cũng có AP ⊥ SB và AP ⊥ BD nên AP ⊥ (SBD) ⇒ AP ⊥ BP, hay APB = 90º

Ta thấy các điểm C,D,M,N đều nhìn AB dưới một góc vuông.

Vậy AB chính là đường kính của khối cầu ngoại tiếp khối ABCDMNP.

Bài 2: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA vuông góc với mặt đáy và SA = a.Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC.

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Đáp án : C

Giải thích :

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Gọi O là trọng tâm của tam giác đều ABC và M là trung điểm của BC

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Đường trung trực của SA cắt SA tại N và cắt đường thẳng đi qua O, song song với SA tại I

⇒ I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC.

⇒ IO ⊥ (ABC) và IN ⊥ SA ⇒ AOIN là hình chữ nhật.

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Bài 3: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B, AB=a. Cạnh bên SA vuông góc mp(ABC) và SC hợp với đáy một góc bằng 60º. Gọi (S) là mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC. Thể tích của khối cầu tạo nên bởi mặt cầu (S) bằng:

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Đáp án : B

Giải thích :

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

AC là hình chiếu vuông góc của SC lên (ABC)

⇒ Góc giữa SC và (ABC) là góc ∠(SCA) = 60º

Xét các ∆ABC; ∆SAB; ∆SAC vuông tại A có:

AC2=AB2+BC2=a2+a2=2a2

SA=AC.tan⁡∠(SCA) =a√2.tan⁡60º =a√6

SC2=SA2+AC2=6a2+2a2=8a2

SB2=SA2+AB2=6a2+a2=7a2

Ta có:

SB2+BC2=7a2+a2=8a2=SC2

⇒ ∆SBC vuông tại B

Khi đó, ta có: ∠(SAC) = ∠(SBC) =90º

Gọi O là trung điểm của SC

⇒ O là tâm đường tròn ngoại tiếp khối chóp S.ABC

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Bài 4: Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC. A’B’C’ có tất cà các cạnh đều bằng a.Tính diện tích của mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ theo a.

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Đáp án : B

Giải thích :

Áp dụng công thức giải nhanh với lăng trụ tam giác đều có tất cả các cạnh bằng a, ta được:

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Diện tích của mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ:

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Bài 5: Cho tứ diện S.ABC, đáy ABC là tam giác vuông tại B với AB = 3, BC = 4. Hai mặt bên (SAB) và (SAC) cùng vuông góc với (ABC) và SC hợp với (ABC) góc 45º. Thể tích hình cầu ngoại tiếp S.ABC là:

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Đáp án : C

Giải thích :

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

AC là hình chiếu vuông góc của SC lên (ABC)

⇒ Góc giữa SC và (ABC) là góc ∠(SCA) =45º

Xét các ∆ABC; ∆SAB; ∆SAC vuông tại A có:

AC2=AB2+BC2=32+42=25 ⇒ AC=5

SA=AC.tan∠⁡(SCA) =5.tan⁡45º =5

SC2=SA2+AC2=25+25=50 ⇒ SC=5√2

SB2=SA2+AB2=25+9=34

Ta có:

SB2+BC2=34+16=50=SC2

⇒ ∆SBC vuông tại B

Khi đó, ta có: ∠(SAC) = ∠(SBC) =90º

Gọi O là trung điểm của SC

⇒ O là tâm đường tròn ngoại tiếp khối chóp S.ABC

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Bài 6: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng 1, mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính thể tích V của khối cầu ngoại tiếp hình chóp đã cho.

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Đáp án : B

Giải thích :

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Gọi H là trung điểm của AB

Vì ∆SAB đều nên SH ⊥ AB

Mà (SAB) ⊥ (ABC); SH ⊥ AB ⇒ SH ⊥ (ABC)

⇒ SH là đường cao của hình chóp S.ABC

Gọi G là trọng tâm của ∆ABC ⇒ G là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ABC.

Qua G kẻ đường thẳng d song song với SH ⇒ d ⊥ (ABC)

Gọi K là trung điểm của SC , vì ∆SHC vuông cân tại H (SH = HC) ⇒ HK là đường trung trực ứng với SC.

Gọi I = d ∩ HK ta có

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

⇒ I là tâm khối cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC

Xét hai tam giác đều ∆ABC=∆SAB có độ dài các cạnh bằng

G là trọng tâm ∆ABC

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Xét ∆HIG vuông tại G, ∠(KHC) = 45º nên

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Xét ∆CIG vuông tại G

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Vậy thể tích của khối cầu ngoại tiếp hình chóp

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Bài 7: Cho khối lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. Bán kính mặt cầu ngoại tiếp của khối lập phương ABCD. A’B’C’D’ bằng

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Đáp án : A

Giải thích :

Gọi I là trung điểm của A’C

⇒ I là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối lập phương ABCD.A’B’C’D’

Ta có:

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Bài 8: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, tam giác SAB đều cạnh a và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD theo a.

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Đáp án : D

Giải thích :

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Gọi H là trung điểm của AB, do tam giác SAB đều nên

SH ⊥ AB mà (SAB) ⊥ (ABCD) nên SH ⊥ (ABCD)

Gọi O là tâm của hình vuông ABCD, d là đường thẳng qua O và song song SH thì d ⊥ (ABCD) hay d là trục đường tròn ngoại tiếp hình vuông ABCD.

Gọi G là trọng tâm của ∆SAB đều ⇒ G là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆SAB

Trong mặt phẳng (SAB) từ G kẻ đường thẳng vuông góc với (SAB) cắt d tại I thì I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD, bán kính R = IS.

∆SAB đều cạnh a, G là trọng tâm

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Trong tam giác vuông SGI tại G :

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Chuyên đề Toán 12: đầy đủ lý thuyết và các dạng bài tập có đáp án khác:

Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, soạn văn, văn mẫu.... Tải App để chúng tôi phục vụ tốt hơn.

Tải App cho Android hoặc Tải App cho iPhone

Loạt bài Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán lớp 12 Đại số, Giải tích và Hình học có đáp án có đầy đủ Lý thuyết và các dạng bài được biên soạn bám sát nội dung chương trình sgk Giải tích 12 và Hình học 12.

Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn.


mat-cau.jsp


Các loạt bài lớp 12 khác