Cho tam giác nhọn ABC có ba đường cao AM, BN, CP cắt nhau tại

Giải SBT Toán 8 Bài 4: Hình bình hành - Cánh diều

Bài 19 trang 95 SBT Toán 8 Tập 1: Cho tam giác nhọn ABC có ba đường cao AM, BN, CP cắt nhau tại H. Qua B kẻ tia Bx vuông góc với AB. Qua C kẻ tia Cy vuông góc với AC. Gọi D là giao điểm của Bx và Cy (Hình 15).

a) Chứng minh tứ giác BDCH là hình bình hành.

b*) Tam giác ABC có điều kiện gì thì ba điểm A, D, H thẳng hàng?

c) Tìm mối liên hệ giữa góc A và góc D của tứ giác ABDC.

d) Giả sử H là trung điểm của AM. Chứng minh diện tích của tam giác ABC bằng diện tích của tứ giác BHCD.

Lời giải:

a) Do AM, BN, CP là đường cao của ∆ABC nên AM ⊥ BC, BN ⊥ AC, CP ⊥ AB

Do CP ⊥ AB, BD ⊥ AB nên CP // BD.

Do BN ⊥ AC, CD ⊥ AC nên BN // CD

Tứ giác BDCH có BD // CH, BH // CD nên BDCH là hình bình hành.

b*) Để ba điểm A, D, H thẳng hàng thì M phải thuộc DH.

Mà M thuộc BC, suy ra M là giao điểm của BC và DH.

Do BDCH là hình bình hành nên hai đường chéo BC và DH cắt nhau tại trung điểm mỗi đường. Suy ra M là trung điểm BC. Suy ra MB = MC

Xét ∆ABM và ∆ACM có:

MB = MC, $\widehat{AMB}=\widehat{AMC}=90°$, cạnh AM chung

Do đó ∆ABM = ∆ACM (c.g.c). Suy ra AB = AC (hai cạnh tương ứng)

Dễ thấy, nếu tam giác ABC có AB = AC thì ba điểm A, D, H thẳng hàng.

Vậy tam giác ABC cân tại A thì ba điểm A, D, H thẳng hàng.

c) Xét tứ giác ABDC, ta có: $\widehat{BAC}+\widehat{DBA}+\widehat{ACD}+\widehat{CDB}=360°$.

Mà $\widehat{DBA}=\widehat{ACD}=90°$, suy ra $\widehat{BAC}+\widehat{CDB}=180°$.

Vậy góc A và góc D của tứ giác ABDC là hai góc bù nhau.

d) Do H là trung điểm của AM nên $HM=\frac{1}{2}AM$.

Ta có diện tích tam giác ABC bằng: $\frac{1}{2}.AM.BC=HM.BC$.

Xét ∆BCH và ∆CBD có:

BH = CD, BD = HC (do BDCH là hình bình hành), cạnh BC chung

Do đó ∆BCH = ∆CBD (c.c.c)

Suy ra S_∆BCH = S_∆CBD

Nên diện tích tứ giác BHCD bằng 2 lần diện tích tam giác BCH.

Khi đó, diện tích tứ giác BHCD bằng: $2\left(\frac{1}{2}.HM.BC\right)=HM.BC$.

Vậy diện tích của tam giác ABC bằng diện tích của tứ giác BHCD.

Lời giải SBT Toán 8 Bài 4: Hình bình hành hay khác:

• Bài 16 trang 94 SBT Toán 8 Tập 1: Cho tam giác ABC có AB = AC = 3 cm. Từ điểm M thuộc cạnh BC ....

• Bài 17 trang 94 SBT Toán 8 Tập 1: Cho tam giác ABC có các đường trung tuyến BD và CE ....

• Bài 18 trang 95 SBT Toán 8 Tập 1: Cho hình bình hành ABCD. Trên cạnh AD, BC lần lượt lấy điểm E, F ....

• Bài 20 trang 95 SBT Toán 8 Tập 1: Cho hình bình hành ABCD có $\widehat{A}>90°$, AB > BC ....

Xem thêm các bài giải sách bài tập Toán lớp 8 Cánh diều hay, chi tiết khác:

• SBT Toán 8 Bài 3: Hình thang cân

• SBT Toán 8 Bài 5: Hình chữ nhật

• SBT Toán 8 Bài 6: Hình thoi

• SBT Toán 8 Bài 7: Hình vuông

• SBT Toán 8 Bài tập cuối chương 5

Săn SALE shopee tháng 12-6:

• Unilever mua 1 tặng 1
• L'Oreal mua 1 tặng 3
• La Roche-Posay mua là có quà:

---