Giải Toán 10 trang 41 Tập 2 Kết nối tri thức

Với Giải Toán 10 trang 41 Tập 2 trong Bài 20: Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng. Góc và khoảng cách Toán lớp 10 Tập 2 Kết nối tri thức hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh dễ dàng làm bài tập Toán 10 trang 41.

Giải Toán 10 trang 41 Tập 2 Kết nối tri thức

Vận dụng trang 41 Toán 10 Tập 2: Nhân dịp nghỉ hè, Nam về quê ở với ông bà nội. Nhà ông bà nội có một ao cá có dạng hình chữ nhật ABCD với chiều dài AD = 15 m, chiều rộng AB = 12 m. Phần tam giác DEF là nơi ông bà nuôi vịt, AE = 5 m, CF = 6 m (H.7.11). 

a) Chọn hệ trục tọa độ Oxy, có điểm O trùng với điểm B, các tia Ox, Oy tương ứng trùng với các tia BC, BA. Chọn 1 đơn vị độ dài trên mặt phẳng tọa độ tương ứng với 1 m trong thực tế. Hãy xác định tọa độ của các điểm A, B, C, D, E, F và viết phương trình đường thẳng EF. 

b) Nam đứng ở vị trí B câu cá và có thể quăng lưỡi câu xa 10,7 m. Hỏi lưỡi câu có thể rơi vào nơi nuôi vịt hay không ? 

Lời giải:

a) Đặt hệ trục tọa độ như hình vẽ sau: 

Vì B trùng với gốc tọa độ O nên B có tọa độ là (0; 0). 

Vì ABCD là hình chữ nhật nên CD = AB = 12 m, BC = AD = 15 m. 

Điểm A thuộc trục Oy và có AO = AB = 12 m nên A có tọa độ là (0; 12). 

Điểm C thuộc trục Ox và có CO = CB = 15 m nên C có tọa độ là (15; 0). 

Ta có: DC ⊥ Ox (do DC ⊥ BC), DA ⊥ Oy (do DA ⊥ AB) và DC = 12 m, DA = 15 m nên điểm D có tọa độ là (15; 12). 

Từ E kẻ EH vuông góc với BC, H thuộc BC nên EH = AB = 12 m, lại có AE = 5 m, do đó điểm E có tọa độ là (5; 12).

Từ F kẻ FJ vuông góc với AB, J thuộc AB nên FJ = AD = 15 m, lại có CF = 6 m, do đó điểm F có tọa độ là (15; 6). 

Vậy A(0; 12), B(0; 0), C(15; 0), D(15; 12), E(5; 12), F(15; 6). 

Ta có: $\overrightarrow{EF}=\left(15-5;6-12\right)=\left(10;-6\right)$. 

Chọn vectơ $\overrightarrow{u}=\frac{1}{2}\overrightarrow{EF}=\left(5;-3\right)$ làm vectơ chỉ phương của đường thẳng EF thì vectơ pháp tuyến của đường thẳng EF là $\overrightarrow{n}=\left(3;5\right)$. 

Đường thẳng EF đi qua điểm E(5; 12) và có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n}=\left(3;5\right)$, do đó phương trình đường thẳng EF là: 3(x – 5) + 5(y – 12) = 0 hay 3x + 5y – 75 = 0. 

b) Áp dụng công thức tính khoảng cách, ta có khoảng cách từ B đến EF là: 

$d\left(B,EF\right)=\frac{\left|3.0+5.0-75\right|}{\sqrt{3^2+5^2}}=\frac{75}{\sqrt{34}}$≈ 12,9 m. 

Khoảng cách từ B đến EF là đường ngắn nhất từ B nơi Nam đứng đến EF, lưỡi câu có thể quăng xa 10,7 m và 10,7 m < 12,9 m nên lưỡi câu không thể rơi vào vị trí nuôi vịt. 

Bài 7.7 trang 41 Toán 10 Tập 2: Xét vị trí tương đối giữa các cặp đường thẳng sau: 

a) ∆₁: $3\sqrt{2}x+\sqrt{2}y-\sqrt{3}=0$và ∆₂: 6x + 2y $-\sqrt{6}$= 0. 

b) d₁: x $-\sqrt{3}y$+ 2 = 0 và d₂: $\sqrt{3}x$– 3y + 2 = 0. 

c) m₁: x – 2y + 1 = 0 và m₂: 3x + y – 2 = 0. 

Lời giải:

a) Đường thẳng ∆₁: $3\sqrt{2}x+\sqrt{2}y-\sqrt{3}=0$có vectơ pháp tuyến là ${\overrightarrow{n}}_1=\left(3\sqrt{2};\sqrt{2}\right)$. 

Đường thẳng ∆₂: 6x + 2y$-\sqrt{6}$ = 0 có vectơ pháp tuyến là ${\overrightarrow{n}}_2=\left(6;2\right)$. 

Ta có: ${\overrightarrow{n}}_1=\frac{\sqrt{2}}{2}{\overrightarrow{n}}_2$ nên hai vectơ ${\overrightarrow{n}}_1$ và ${\overrightarrow{n}}_2$ cùng phương, do đó hai đường thẳng ∆₁ và ∆₂ song song hoặc trùng nhau. 

Mặt khác, điểm A$\left(0;\frac{\sqrt{6}}{2}\right)$ vừa thuộc ∆₁ vừa thuộc ∆₂. 

Vậy hai đường thẳng ∆₁ và ∆₂ trùng nhau. 

b) Vectơ pháp tuyến của đường thẳng d₁: x$-\sqrt{3}y$ + 2 = 0 là $\overrightarrow{n_1}=\left(1;-\sqrt{3}\right)$ và của d₂: $\sqrt{3}$x – 3y + 2 = 0 là $\overrightarrow{n_2}=\left(\sqrt{3};-3\right)$. 

Ta có: $\overrightarrow{n_2}=\sqrt{3}\overrightarrow{n_1}$ nên hai vectơ ${\overrightarrow{n}}_1$ và ${\overrightarrow{n}}_2$ cùng phương, do đó hai đường thẳng d₁ và d₂ song song hoặc trùng nhau. 

Mặt khác, điểm B(– 2; 0) thuộc d₁ nhưng không thuộc d₂. 

Vậy hai đường thẳng d₁ và d₂ song song với nhau.

c) Xét hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}x-2y+1=0\\ 3x+y-2=0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}3x-6y+3=0\left(1\right)\\ 3x+y-2=0\left(2\right)\end{array}\right.$.

Lấy (2) trừ vế theo vế cho (1) ta được: 7y – 5 = 0 $\iff y=\frac{5}{7}$.

Thay vào (1) ta được: $3x-6.\frac{5}{7}+3=0\iff x=\frac{3}{7}$. 

Do đó hệ trên có nghiệm duy nhất $\left(\frac{3}{7};\frac{5}{7}\right)$. 

Vậy hai đường thẳng m₁ và m₂ cắt nhau tại điểm có tọa độ $\left(\frac{3}{7};\frac{5}{7}\right)$.

Bài 7.8 trang 41 Toán 10 Tập 2: Tính góc giữa các cặp đường thẳng sau: 

a) ∆₁:$\sqrt{3}x$ + y – 4 = 0 và ∆₂: x +$\sqrt{3}y$ + 3 = 0; 

b) d₁: $\left\{\begin{array}{l}x=-1+2t\\ y=3+4t\end{array}\right.$và d₂: $\left\{\begin{array}{l}x=3+s\\ y=1-3s\end{array}\right.$           (t, s là các tham số). 

Lời giải:

a) Vectơ pháp tuyến của đường thẳng ∆₁: $\sqrt{3}x$+ y – 4 = 0 là $\overrightarrow{n_1}=\left(\sqrt{3};1\right)$ và của ∆₂: x +$\sqrt{3}y$ + 3 = 0 là $\overrightarrow{n_2}=\left(1;\sqrt{3}\right)$. 

Gọi φ là góc giữa hai đường thẳng ∆₁ và ∆₂. Ta có: 

cosφ = $\left|\cos \left(\overrightarrow{n_1},\overrightarrow{n_2}\right)\right|=\frac{\left|\overrightarrow{n_1}.\overrightarrow{n_2}\right|}{\left|\overrightarrow{n_1}\right|.\left|\overrightarrow{n_2}\right|}=\frac{\left|\sqrt{3}.1+1.\sqrt{3}\right|}{\sqrt{{\left(\sqrt{3}\right)}^2+1^2}.\sqrt{1^2+{\left(\sqrt{3}\right)}^2}}=\frac{2\sqrt{3}}{2.2}=\frac{\sqrt{3}}{2}$. 

Do đó, góc giữa ∆₁ và ∆₂ là φ = 30°.

b) Vectơ chỉ phương của đường thẳng d₁ là $\overrightarrow{u_1}=\left(2;4\right)$, của đường thẳng d₂ là $\overrightarrow{u_2}=\left(1;-3\right)$. 

Suy ra vectơ pháp tuyến của đường thẳng d₁ là $\overrightarrow{n_1}=\left(4;-2\right)$, của đường thẳng d₂ là $\overrightarrow{n_2}=\left(3;1\right)$. 

Gọi α là góc giữa hai đường thẳng d₁ và d₂. Ta có: 

cosα = $\left|\cos \left(\overrightarrow{n_1},\overrightarrow{n_2}\right)\right|=\frac{\left|\overrightarrow{n_1}.\overrightarrow{n_2}\right|}{\left|\overrightarrow{n_1}\right|.\left|\overrightarrow{n_2}\right|}=\frac{\left|4.3+\left(-2\right).1\right|}{\sqrt{4^2+{\left(-2\right)}^2}.\sqrt{3^2+1^2}}=\frac{10}{\sqrt{20}.\sqrt{10}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$. 

Do đó, góc giữa d₁ và d₂ là α = 45°.

Bài 7.9 trang 41 Toán 10 Tập 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm A(0; – 2) và đường thẳng ∆: x + y – 4 = 0.

a) Tính khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng ∆. 

b) Viết phương trình đường thẳng a đi qua điểm M(– 1; 0) và song song với ∆. 

c) Viết phương trình đường thẳng b đi qua điểm N(0; 3) và vuông góc với ∆. 

Lời giải:

a) Áp dụng công thức tính khoảng cách, ta có khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng ∆ là: d(A, ∆) = $\frac{\left|0+\left(-2\right)-4\right|}{\sqrt{1^2+1^2}}=\frac{6}{\sqrt{2}}=3\sqrt{2}$. 

Vậy khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng ∆ là $3\sqrt{2}$. 

b) Đường thẳng ∆ có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n_{\Delta }}=\left(1;1\right)$. 

Do a // ∆, nên vectơ pháp tuyến của a là $\overrightarrow{n_a}=\overrightarrow{n_{\Delta }}=\left(1;1\right)$. 

Đường thẳng a đi qua điểm M(– 1; 0) và có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n_a}=\left(1;1\right)$, do đó phương trình đường thẳng a là: 1(x + 1) + 1(y – 0) = 0 hay x + y + 1 = 0. 

c) Đường thẳng ∆ có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u_{\Delta }}=\left(1;-1\right)$. 

Do b ⊥ ∆, nên vectơ pháp tuyến của b là $\overrightarrow{n_b}=\overrightarrow{u_{\Delta }}=\left(1;-1\right)$.

Đường thẳng b đi qua điểm N(0; 3) và có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n_b}=\left(1;-1\right)$, do đó phương trình đường thẳng b là: 1(x – 0) – 1(y – 3) = 0 hay x – y + 3 = 0. 

Bài 7.10 trang 41 Toán 10 Tập 2: Trong mặt phẳng tọa độ, cho tam giác ABC có A(1; 0), B(3; 2) và C(– 2; – 1). 

a) Tính độ dài đường cao kẻ từ đỉnh A của tam giác ABC. 

b) Tính diện tích tam giác ABC. 

Lời giải:

a) Độ dài đường cao kẻ từ đỉnh của tam giác ABC chính là khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng BC. 

Ta có: $\overrightarrow{BC}=\left(-2-3;-1-2\right)=\left(-5;-3\right)$. 

Chọn vectơ chỉ phương của đường thẳng BC là $\overrightarrow{u}=-\overrightarrow{BC}=\left(5;3\right)$. 

Suy ra vectơ pháp tuyến của đường thẳng BC là $\overrightarrow{n}=\left(3;-5\right)$. 

Đường thẳng BC đi qua điểm B(3; 2) và có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}=\left(3;-5\right)$, do đó phương trình đường thẳng BC là: 3(x – 3) – 5(y – 2) = 0 hay 3x – 5y + 1 = 0. 

Khi đó khoảng cách từ A đến BC là: 

d(A, BC) = $\frac{\left|3.1-5.0+1\right|}{\sqrt{3^2+5^2}}=\frac{4}{\sqrt{34}}=\frac{2\sqrt{34}}{17}$. 

Vậy độ dài đường cao kẻ từ đỉnh A của tam giác ABC là h = $\frac{2\sqrt{34}}{17}$. 

b) Ta có: BC = $\left|\overrightarrow{BC}\right|=\sqrt{{\left(-5\right)}^2+{\left(-3\right)}^2}=\sqrt{34}$. 

Diện tích tam giác ABC là: 

S = $\frac{1}{2}h.BC=\frac{1}{2}.\frac{2\sqrt{34}}{17}.\sqrt{34}=2$(đvdt). 

Vậy diện tích tam giác ABC là 2 đvdt.

Bài 7.11 trang 41 Toán 10 Tập 2: Chứng minh rằng hai đường thẳng d: y = ax + b (a ≠ 0) và d': y = a'x + b' (a' ≠ 0) vuông góc với nhau khi và chỉ khi aa' = – 1. 

Lời giải:

Ta có: y = ax + b ⇔ ax – y + b = 0 hay d: ax – y + b = 0 nên vectơ pháp tuyến của đường thẳng d là $\overrightarrow{n}=\left(a;-1\right)$. 

Lại có: y = a'x + b' ⇔ a'x – y + b' = 0 hay d': a'x – y + b' = 0 nên vectơ pháp tuyến của đường thẳng d' là $\overrightarrow{n^{\text{'}}}=\left(a\text{'};-1\right)$. 

Hai đường thẳng d và d' vuông góc với nhau khi $\overrightarrow{n}\perp \overrightarrow{n^{\text{'}}}\iff \overrightarrow{n}.\overrightarrow{n^{\text{'}}}=0\iff a.a\text{'}+\left(-1\right).\left(-1\right)=0$ 

$\iff a.a\text{'}+1=0\iff a.a\text{'}=-1$. 

Vậy d ⊥ d' ⇔ aa' = – 1. 

Bài 7.12 trang 41 Toán 10 Tập 2: Trong mặt phẳng tọa độ, một tín hiệu âm thanh phát đi từ một vị trí và được ba thiết bị ghi tín hiệu đặt tại ba vị trí O(0; 0), A(1; 0), B(1; 3) nhận được cùng một thời điểm. Hãy xác định vị trí phát tín hiệu âm thanh. 

Lời giải:

Gọi H(a; b) là vị trí tín hiệu âm thanh phát đi. 

Vì ba thiết bị ghi tín hiệu đặt tại ba vị trí O(0; 0), A(1; 0), B(1; 3) nhận tín hiệu từ H phát đi tại cùng một thời điểm nên HO = HA = HB. 

Ta có: $\overrightarrow{HO}=\left(-a;-b\right)$, $\overrightarrow{HA}=\left(1-a;-b\right)$, $\overrightarrow{HC}=\left(1-a;3-b\right)$. 

Do đó: $HO=\sqrt{{\left(-a\right)}^2+\left(-b^2\right)}=\sqrt{a^2+b^2}$, $HA=\sqrt{{\left(1-a\right)}^2+{\left(-b\right)}^2}=\sqrt{{\left(a-1\right)}^2+b^2}$, $HC=\sqrt{{\left(1-a\right)}^2+{\left(3-b\right)}^2}=\sqrt{{\left(a-1\right)}^2+{\left(b-3\right)}^2}$. 

Vì HO = HA nên $\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{{\left(a-1\right)}^2+b^2}$ $\Rightarrow a^2+b^2={\left(a-1\right)}^2+b^2$

⇔ a² = a² – 2a + 1 ⇔ 2a = 1 ⇔ a = $\frac{1}{2}$. 

Vì HA = HB nên $\sqrt{{\left(a-1\right)}^2+b^2}=\sqrt{{\left(a-1\right)}^2+{\left(b-3\right)}^2}$

$\Rightarrow {\left(a-1\right)}^2+b^2={\left(a-1\right)}^2+{\left(b-3\right)}^2$

⇔ b² = b² – 6b + 9 ⇔ 6b = 9 ⇔ b = $\frac{3}{2}$. 

Thay a = $\frac{1}{2}$ và b = $\frac{3}{2}$ vào các phương trình ta thấy đều thỏa mãn. 

Vậy vị trí phát tín hiệu âm thanh là tại điểm H có tọa độ $\left(\frac{1}{2};\frac{3}{2}\right)$. 

Lời giải bài tập Toán lớp 10 Bài 20: Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng. Góc và khoảng cách Kết nối tri thức hay khác:

• Giải Toán 10 trang 36

• Giải Toán 10 trang 37

• Giải Toán 10 trang 38

• Giải Toán 10 trang 39

• Giải Toán 10 trang 40

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 10 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

• Toán 10 Bài 21: Đường tròn trong mặt phẳng tọa độ

• Toán 10 Bài 22: Ba đường conic

• Toán 10 Bài tập cuối chương 7

• Toán 10 Bài 23: Quy tắc đếm

• Toán 10 Bài 24: Hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp

Săn shopee siêu SALE :

• Sổ lò xo Art of Nature Thiên Long màu xinh xỉu
• Biti's ra mẫu mới xinh lắm
• Tsubaki 199k/3 chai
• L'Oreal mua 1 tặng 3

---