Các dạng bài tập Nguyên hàm chọn lọc, có đáp án

Siêu sale 5-5 Shopee

Phần Nguyên hàm Toán lớp 12 với các dạng bài tập chọn lọc có trong Đề thi THPT Quốc gia và trên 200 bài tập trắc nghiệm chọn lọc, có đáp án. Vào Xem chi tiết để theo dõi các dạng bài Nguyên hàm hay nhất tương ứng.

Các dạng bài tập Nguyên hàm chọn lọc, có đáp án

Bài giảng: Cách làm bài tập nguyên hàm và phương pháp tìm nguyên hàm của hàm số cực nhanh - Cô Nguyễn Phương Anh (Giáo viên VietJack)

Bài tập trắc nghiệm

Cách tìm nguyên hàm của hàm số

A. Phương pháp giải & Ví dụ

I. NGUYÊN HÀM VÀ TÍNH CHẤT

1. Nguyên hàm

Định nghĩa: Cho hàm số f(x) xác định trên K (K là khoảng, đoạn hay nửa khoảng). Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên K nếu F'(x) = f(x) với mọi x ∈ K.

Định lí:

1) Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K thì với mỗi hằng số C, hàm số G(x) = F(x) + C cũng là một nguyên hàm của f(x) trên K.

2) Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K thì mọi nguyên hàm của f(x) trên K đều có dạng F(x) + C, với C là một hằng số.

Do đó F(x)+C, C ∈ R là họ tất cả các nguyên hàm của f(x) trên K. Ký hiệu ∫f(x)dx = F(x) + C.

2. Tính chất của nguyên hàm

Tính chất 1: (∫f(x)dx)' = f(x) và ∫f'(x)dx = f(x) + C

Tính chất 2: ∫kf(x)dx = k∫f(x)dx với k là hằng số khác 0.

Tính chất 3: ∫[f(x) ± g(x)]dx = ∫f(x)dx ± ∫g(x)dx

3. Sự tồn tại của nguyên hàm

Định lí: Mọi hàm số f(x) liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K.

4. Bảng nguyên hàm của một số hàm số sơ cấp

Nguyên hàm của hàm số sơ cấp	Nguyên hàm của hàm số hợp (u = u(x)

II. PHƯƠNG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀM

Phương pháp dùng định nghĩa vá tính chất

+ Biến đổi các hàm số dưới dấu nguyên hàm về dạng tổng, hiệu của các biểu thức chứa x.

+ Đưa các mỗi biểu thức chứa x về dạng cơ bản có trong bảng nguyên hàm.

+ Áp dụng các công thức nguyên hàm trong bảng nguyên hàm cơ bản.

Ví dụ minh họa

Bài 1: Tìm nguyên hàm của hàm số

Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

Lời giải:

Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

Bài 2: Tìm nguyên hàm của hàm số

Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

Lời giải:

Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

Tìm nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến số

A. Phương pháp giải & Ví dụ

STT	Dạng tích phân	Cách đặt	Đặc điểm nhận dạng
1		t = f(x)	Biểu thức dưới mẫu
2		t = t(x)	Biểu thức ở phần số mũ
3		t = t(x)	Biểu thức trong dấu ngoặc
4			Căn thức
5		t = lnx	dx/x đi kèm biểu thức theo lnx
6		t = sinx	cosx dx đi kèm biểu thức theo sinx
7		t = cosx	sinx dx đi kèm biểu thức theo cosx
8		t = tanx	đi kèm biểu thức theo tanx
9		t = cotx	đi kèm biểu thức theo cotx
10		t = e^ax	e^ax dx đi kèm biểu thức theo e^ax
Đôi khi thay cách đặt t = t(x) bởi t = m.t(x) + n ta sẽ biến đổi dễ dàng hơn.

Ví dụ minh họa

Bài 1: Tìm các họ nguyên hàm sau đây:

Lời giải:

Bài 2: Tìm các họ nguyên hàm sau đây:

Lời giải:

Bài 3: Tìm các họ nguyên hàm sau đây:

Lời giải:

Cách tìm nguyên hàm bằng phương pháp từng phần

A. Phương pháp giải & Ví dụ

Với bài toán tìm nguyên hàm của các hàm số dạng tích (hoặc thương) của hai hàm số “khác lớp hàm” ta thường sử dụng phương pháp nguyên hàm từng phần theo công thức

Dưới đây là một số trường hợp thường gặp như thế (với P(x) là một đa thức theo ẩn x)

Ví dụ minh họa

Bài 1: Tìm họ nguyên hàm của hàm số

a) ∫xsinxdx

b) ∫e^x sinx dx

Lời giải:

a) Xét ∫xsinxdx

Theo công thức tính nguyên hàm từng phần, ta có

F(x) = ∫xsinxdx = -xcosx+∫cosxdx = -xcosx+sinx+C

b) Xét F(x) = ∫e^x sinx dx

F(x) = e^x sinx-∫e^x cosx dx = e^x sinx-G(x) (1)

Với G(x) = ∫e^x cosx dx

G(x) = e^x cosx+∫e^x sinx dx+C'=e^x cosx+F(x)+C' (2)

Từ (1) và (2) ta có F(x) = e^x sinx-e^x cosx - F(x) - C'

Ghi nhớ: Gặp ∫e^mx+n.sin(ax+b)dx hoặc ∫e^mx+n.cos(ax+b)dx ta luôn thực hiện phương pháp nguyên hàm từng phần 2 lần liên tiếp.

Bài 2: Tìm họ nguyên hàm của hàm số

a) ∫x.2^x dx

b) ∫(x²-1) e^x dx

Lời giải:

a) Xét ∫x.2^x dx

Suy ra ∫f(x)dx = (x²-1) e^x - ∫2x.e^x dx

Suy ra ∫f(x)dx = (x²-1) e^x - ∫2x.e^x dx = (x²-1) e^x-(2x.e^x - ∫2.e^x dx)

= (x²-1) e^x - 2x.e^x + 2.e^x+C = (x-1)² e^x + C.

Bài 3: Tìm họ nguyên hàm của hàm số

a) ∫2xln(x-1)dx

b) Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

Lời giải:

a) Xét ∫2xln(x-1)dx

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 12 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:

Sách VietJack thi THPT quốc gia 2024 cho học sinh 2k6:

Săn shopee siêu SALE :

ĐỀ THI, GIÁO ÁN, GÓI THI ONLINE DÀNH CHO GIÁO VIÊN VÀ PHỤ HUYNH LỚP 12

Bộ giáo án, đề thi, bài giảng powerpoint, khóa học dành cho các thầy cô và học sinh lớp 12, đẩy đủ các bộ sách cánh diều, kết nối tri thức, chân trời sáng tạo tại https://tailieugiaovien.com.vn/ . Hỗ trợ zalo VietJack Official