Giải bài 8 trang 100 sgk Hình học 12

Ôn tập cuối năm Hình học 12

Bài 8 (trang 100 SGK Hình học 12): Trong không gian Oxyz cho các điểm A(1; 0; –1), B(3; 4; –2), C(4; –1; 1), D(3; 0; 3).

a) Chứng minh rằng A, B, C, D không đồng phẳng.

Quảng cáo

b) Viết phương trình mặt phẳng (ABC) và tính khoảng cách từ D đến (ABC).

c) Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD.

d) Tính thể tích tứ diện ABCD.

Lời giải:

a) Mặt phẳng (ABC) có VTPT $\vec{n}$ vuông góc với hai vectơ :

Giải bài 8 trang 100 sgk Hình học 12 | Để học tốt Toán 12

Phương trình mặt phẳng (ABC) là:

1.( x – 1) – 1.(y – 0) – 2.(z+ 1) = 0 hay x – y – 2z – 3 = 0

Thay tọa độ điểm D vào mp(ABC) ta được:

3 – 0 – 2. 3 – 3 = – 6 ≠ 0

Suy ra: điểm D không thuộc mp(ABC) hay 4 điểm A, B, C, D không đồng phẳng.

Quảng cáo

b) Ta có:

d(D; (ABC)) = $\frac{|3 - 0 - 2.3 - 3|}{\sqrt{1^{2} + {(- 1)}^{2} + {(- 2)}^{2}}} = \frac{6}{\sqrt{6}} = \sqrt{6}$

c) Ta có:

$\vec{AB}$ = (2; 4; -1); $\vec{AD}$ = (2; 0; 4); $\vec{CB}$ = (-1; 5; -3); $\vec{CD}$ = (-1; 1; 2)

=> $\vec{AB}$ . $\vec{AD}$ = 2.2 + 4.0 + (-1).4 = 0

$\vec{CB}$ . $\vec{CD}$ = -1.(-1) + 5.1 + (-3).2 = 0

=> AB ⊥ AD; CB ⊥ CD

Quảng cáo

Vậy hai tam giác ABD và CBD lần lượt vuông tại A và C.

Gọi M là trung điểm của BD.

Suy ra: MA = MC = MB = MD = $\frac{B D}{2}$ .

Do đó, M là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD.

Ta có: M (3; 2; $\frac{1}{2}$ ) (do M là trung điểm của BD) và bán kính R = $\frac{B D}{2}$ = $\frac{\sqrt{{(3 - 3)}^{2} + {(0 - 4)}^{2} + {(3 + 2)}^{2}}}{2} = \frac{\sqrt{41}}{2}$

Phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD là:

${(x - 3)}^{2} + {(y - 2)}^{2} + {(z - \frac{1}{2})}^{2} = \frac{41}{4}$

d) Ta có: V_ABCD = $\frac{1}{3}$ S_ABC.DH

Trong đó;

Hay tam giác ABC vuông tại A.

Quảng cáo

Các bài giải bài tập Hình học 12 Ôn tập cuối năm Hình học 12 khác :

Các bài giải Hình học 12 Chương 3 khác:

Sách VietJack thi THPT quốc gia 2024 cho học sinh 2k6:

Săn shopee siêu SALE :

ĐỀ THI, GIÁO ÁN, GÓI THI ONLINE DÀNH CHO GIÁO VIÊN VÀ PHỤ HUYNH LỚP 12

Bộ giáo án, đề thi, bài giảng powerpoint, khóa học dành cho các thầy cô và học sinh lớp 12, đẩy đủ các bộ sách cánh diều, kết nối tri thức, chân trời sáng tạo tại https://tailieugiaovien.com.vn/ . Hỗ trợ zalo VietJack Official