Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp Gauss

Giải Chuyên đề Toán 10 Bài tập cuối chuyên đề 1

Bài 2 trang 24 Chuyên đề Toán 10: Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp Gauss:

a) $\{\begin{cases} x - 2 y + z = 3 \\ - y + z = 2 \\ y + 2 z = 1; \end{cases}$

b) $\{\begin{cases} 3 x - 2 y - 4 z = 3 \\ 4 x + 6 y - z = 17 \\ x + 2 y = 5 \end{cases}$

c) $\{\begin{cases} x + y + z = 1 \\ 3 x - y - z = 4 \\ x + 5 y + 5 z = - 1 \end{cases}$

Quảng cáo

Lời giải:

a) $\{\begin{cases} x - 2 y + z = 3 \\ - y + z = 2 \\ y + 2 z = 1 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x - 2 y + z = 3 \\ - y + z = 2 \\ 3 z = 3 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x - 2 y + z = 3 \\ - y + 1 = 2 \\ z = 1 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x - 2 . (- 1) + 1 = 3 \\ y = - 1 \\ z = 1 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} x = 0 \\ y = - 1 \\ z = 1 \end{cases}$

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất (0; –1; 1).

b) $\{\begin{cases} 3 x - 2 y - 4 z = 3 \\ 4 x + 6 y - z = 17 \\ x + 2 y = 5 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} 3 x - 2 y - 4 z = 3 \\ - 13 x - 26 y = - 65 \\ x + 2 y = 5 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} 3 x - 2 y - 4 z = 3 \\ x + 2 y = 5 \\ x + 2 y = 5 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} 3 x - 2 y - 4 z = 3 \\ x + 2 y = 5 \end{cases}$

Từ phương trình thứ hai ta có x = –2y + 5, thay vào phương trình thứ nhất ta được z = –2y + 3. Vậy hệ phương trình đã cho có vô số nghiệm dạng (–2y + 5; y; –2y + 3).

c) $\{\begin{cases} x + y + z = 1 \\ 3 x - y - z = 4 \\ x + 5 y + 5 z = - 1 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x + y + z = 1 \\ 4 y + 4 z = - 1 \\ x + 5 y + 5 z = - 1 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x + y + z = 1 \\ 4 y + 4 z = - 1 \\ - 4 y - 4 z = 2 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x + y + z = 1 \\ 4 y + 4 z = - 1 \\ 0 y + 0 z = 1 \end{cases}$