Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, ta xét elip (E) có phương trỉnh chính tắc là x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1

Giải Chuyên đề Toán 10 Bài 1: Elip

Hoạt động 1 trang 39 Chuyên đề Toán 10: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, ta xét elip (E) có phương trỉnh chính tắc là $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ , trong đó a > b > 0 (Hình 2).

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, ta xét elip (E) có phương trỉnh chính tắc là x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1 (ảnh 1)

a) Tìm toạ độ hai tiêu điểm F₁, F₂ của (E).

b) (E) cắt trục Ox tại các điểm A₁, A₂ và cắt trục Oy tại các điểm B₁, B₂. Tìm độ dài các đoạn thẳng OA₂ và OB₂.

Quảng cáo

Lời giải:

a) Toạ độ hai tiêu điểm F₁, F₂ của (E) là F₁ $(- \sqrt{a^{2} - b^{2}}; 0),$ F₂ $(\sqrt{a^{2} - b^{2}}; 0) .$

+) Vì A₂ thuộc trục Ox nên toạ độ của A₂ có dạng $(x_{A_{2}}; 0) .$

Mà A₂ thuộc (E) nên $\frac{x_{_{A_{2}}}^{2}}{a^{2}} + \frac{0^{2}}{b^{2}} = 1 \Rightarrow x_{_{A_{2}}}^{2} = a^{2} \Rightarrow [\begin{array}{l} x_{A_{2}} = a \\ x_{A_{2}} = - a \end{array} .$

Ta thấy A₂ nằm bên phải điểm O trên trục Ox nên $x_{A_{2}} > 0 \Rightarrow x_{A_{2}} = a \Rightarrow$ A₂(a; 0). Khi đó OA₂ = $\sqrt{{(a - 0)}^{2} + {(0 - 0)}^{2}} = \sqrt{a^{2}} = a$ (vì a > 0).

Vậy OA₂ = a.

+) Vì B₂ thuộc trục Oy nên toạ độ của B₂ có dạng $(0; y_{B_{2}}) .$

Mà B₂ thuộc (E) nên $\frac{0^{2}}{a^{2}} + \frac{y_{_{B_{2}}}^{2}}{b^{2}} = 1 \Rightarrow y_{_{B_{2}}}^{2} = b^{2} \Rightarrow [\begin{array}{l} y_{B_{2}} = b \\ y_{B_{2}} = - b \end{array} .$

Ta thấy B₂ nằm bên trên điểm O trên trục Oy nên $y_{B_{2}} > 0 \Rightarrow y_{B_{2}} = b \Rightarrow$ B₂(0; b). Khi đó OB₂ = $\sqrt{{(0 - 0)}^{2} + {(b - 0)}^{2}} = \sqrt{b^{2}} = b$ (vì b > 0).