Bài 3.19 trang 80 Chuyên đề Toán 11

Giải Chuyên đề Toán 11 Bài tập cuối chuyên đề 3 - Kết nối tri thức

Bài 3.19 trang 80 Chuyên đề Toán 11: Trong không gian cho điểm A và ba mặt phẳng đôi một vuông góc (P₁), (P₂) và (P₃) giao nhau tại O. Gọi A₁, A­₂, A₃ lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên các mặt phẳng (P₁), (P₂) và (P₃). Gọi M, N, P lần lượt là chân đường vuông góc hạ từ A xuống các giao tuyến của (P₁) và (P₂), (P₂) và (P₃), (P₃) và (P₁).

a) Chứng minh OA² = OM² + ON² + OP².

b) Áp dụng ý a để chứng minh $OA=\sqrt{\frac{O{A}_1^2+O{A}_2^2+O{A}_3^2}{2}}$ .

Sử dụng kết quả trên để tính độ dài của một đoạn thẳng mà ba hình chiếu có độ dài lần lượt là 1 cm, 2 cm và 3 cm.

Lời giải:

a) Áp dụng định lí Pythagore cho các tam giác vuông.

Tam giác OMA vuông tại M có: OA² = OM² + AM² (1)

Tam giác ONA vuông tại N có: OA² = ON² + AN² (2)

Tam giác OPA vuông tại P có: OA² = OP² + AP² (3)

Cộng vế theo vế của (1), (2), (3) ta được: 

3OA² = (OM² + ON² + OP²) + (AM² + AN² + AP²) 

Ta chứng minh được: AM² + AN² + AP² = 2OA². (4)

Suy ra: OA² = OM² + ON² + OP². 

b) Vì AM vuông góc OM, OM // AA₃ nên AM vuông góc AA₃

Mà AA₃ vuông góc với OA₃ 

Suy ra: AM // OA₃ và AA₃ // OM nên AMOA₃ là hình bình hành.

Do đó: AM = OA₃.

Chứng minh tương tự ta được: AN = OA₁, AP = OA₂.

Thay kết quả trên vào (4) ta được: $O{A}_3^2+O{A}_2^2+O{A}_1^2=2O{A}_2$ .

Suy ra $OA=\sqrt{\frac{O{A}_1^2+O{A}_2^2+O{A}_3^2}{2}}$ .

Ba hình chiếu có độ dài lần lượt là 1 cm, 2 cm và 3 cm.

Thay số vào kết quả trên ta được: $OA=\sqrt{\frac{1^2+2^2+3^2}{2}}=\sqrt{7}$  (cm).

Lời giải Chuyên đề Toán 11 Bài tập cuối chuyên đề 3 hay, chi tiết khác:

• Bài 3.17 trang 80 Chuyên đề Toán 11: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D'. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng? ...

• Bài 3.18 trang 80 Chuyên đề Toán 11: Bản vẽ trong Hình 3.50 có đáp ứng các nguyên tắc cơ bản của vẽ kĩ thuật hay không? Giải thích vì sao.....

• Bài 3.20 trang 80 Chuyên đề Toán 11: Bạn Long nói rằng khi vẽ hình chiếu trục đo thì các hệ số biến dạng luôn nhỏ hơn hoặc bằng 1. Bạn Long nói đúng hay sai? Vì sao?....

• Bài 3.21 trang 80 Chuyên đề Toán 11: Hình 3.51 thể hiện hình chiếu đứng và hình chiếu bằng của một đoạn thẳng AB trong không gian. ....

• Bài 3.22 trang 81 Chuyên đề Toán 11: Sử dụng thước đo góc nếu cần thiết, hãy cho biết hình nào trong Hình 3.52 là hình chiếu trục đo vuông góc đều. ....

• Bài 3.23 trang 81 Chuyên đề Toán 11: Bản vẽ ở Hình 3.53 mô tả vật thể nào trong thực tế? Cho biết hình nào là hình chiếu vuông góc, hình nào là hình chiếu trục đo của vật thể đó. ....

• Bài 3.24 trang 81 Chuyên đề Toán 11: Một vật thể được biểu diễn trên giấy kẻ ô tam giác đều như trong Hình 3.54. ....

Xem thêm lời giải bài tập Chuyên đề học tập Toán 11 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

• Chuyên đề Toán 11 Bài 9: Đường đi Euler và đường đi Hamilton

• Chuyên đề Toán 11 Bài 10: Bài toán tìm đường tối ưu trong một vài trường hợp đơn giản

• Chuyên đề Toán 11 Bài tập cuối chuyên đề 2

• Chuyên đề Toán 11 Bài 11: Hình chiếu vuông góc và hình chiếu trục đo

• Chuyên đề Toán 11 Bài 12: Bản vẽ kĩ thuật

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 11 hay khác:

• Giải Chuyên đề học tập Toán 11 Kết nối tri thức
• Giải Chuyên đề học tập Toán 11 Chân trời sáng tạo
• Giải Chuyên đề học tập Toán 11 Cánh diều

---