Cho hình hộp đứng ABCD A'B'C'D' có đáy ABCD là hình thoi cạnh 2a Mặt phẳng B'AC

Giải sách bài tập Toán 11 Bài tập cuối chương 8 - Chân trời sáng tạo

Bài 7 trang 76 SBT Toán 11 Tập 2: Cho hình hộp đứng ABCD.A'B'C'D' có đáy ABCD là hình thoi cạnh 2a. Mặt phẳng (B'AC) tạo với đáy một góc 30°, khoảng cách từ B đến mặt phẳng (D'AC) bằng $\frac{a}{2}$ . Tính thể tích khối tứ diện ACB'D'.

Lời giải:

Gọi O = AC $\cap$ BD. Ta có:

Khi đó:

$BO\perp AC,B\text{'}O\perp AC,\left(ABCD\right)\cap \left(B\text{'}AC\right)=AC,$

$\Rightarrow \left(\left(B\text{'}AC\right),\left(ABCD\right)\right)=(BO,OB\text{'})=\widehat{B\text{'}OB}=30°.$

Dễ thấy $d\left(B,\left(D\text{'}AC\right)\right)=d\left(D,\left(D\text{'}AC\right)\right)=\frac{a}{2}$ .

$AC\perp (BB\text{'}D\text{'}D)\Rightarrow (D\text{'}AC)\perp (BB\text{'}D\text{'}D)$

$(D\text{'}AC)\cap (BB\text{'}D\text{'}D)=D\text{'}O.$

Từ D kẻ DH ⊥ D'O (H ϵ DO), suy ra  $d\left(D,\left(D\text{'}AC\right)\right)=DH=\frac{a}{2}.$

Xét ∆B'BO: $\tan 30°=\frac{BB\text{'}}{BO}\Rightarrow OD=BO=\sqrt{3}BB\text{'}.$

Xét ∆D'DO: $\frac{1}{H{D}^2}=\frac{1}{O{D}^2}+\frac{1}{D\text{'}{D}^2}\Rightarrow \frac{4}{a^2}=\frac{1}{3.B\text{'}{B}^2}+\frac{1}{D\text{'}{D}^2}$

$\Rightarrow DD\text{'}=\frac{a}{\sqrt{3}}\Rightarrow OB=a.$

Gọi I = BD $\cap$ B'O, suy ra $\frac{BI}{D\text{'}I}=\frac{1}{2}.$

$\Rightarrow d\left(D\text{'},\left(B\text{'}AC\right)\right)=2d\left(B,\left(B\text{'}AC\right)\right)\Rightarrow V_{ACB\text{'}D\text{'}}=2V_{B\text{'}ABC}.$

Mà  $OA=\sqrt{A{B}^2-O{B}^2}=\sqrt{4a^2-a^2}=a\sqrt{3}.$

$\Rightarrow S_{ABC}=2S_{ABO}=2.\frac{1}{2}.OB.OA=a^2\sqrt{3}.$

Suy ra $V_{B\text{'}.ABC}=\frac{1}{3}.BB\text{'}.S_{ABC}=\frac{1}{3}.\frac{a}{\sqrt{3}}.a^2\sqrt{3}=\frac{a^3}{3}.$

Vậy $V_{ACB\text{'}D\text{'}}=\frac{2a^3}{3}.$

Lời giải SBT Toán 11 Bài tập cuối chương 8 hay khác:

• Câu 1 trang 74 SBT Toán 11 Tập 2: Trong không gian, khẳng định nào sau đây đúng? A. Cho hai đường thẳng song song, đường thẳng nào vuông góc với đường thẳng thứ nhất ....

• Câu 2 trang 74 SBT Toán 11 Tập 2: Khẳng định nào sau đây sai? A. Nếu đường thẳng d ⊥ (α) thì d vuông góc với hai đường thẳng trong (α). ....

• Câu 3 trang 74 SBT Toán 11 Tập 2: Cho tứ diện ABCD. Vẽ AH ⊥ (BCD). Biết H là trực tâm tam giác BCD. Khẳng định nào sau đây đúng? ....

• Câu 4 trang 74 SBT Toán 11 Tập 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, cạnh bên SA vuông góc với đáy. Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của A lên SB, SD ....

• Câu 5 trang 74 SBT Toán 11 Tập 2: : Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình vuông cạnh a, tâm O. Cạnh bên SA = 2a và vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi α là góc tạo bởi ....

• Câu 6 trang 74 SBT Toán 11 Tập 2: Cho tứ diện ABCD có cạnh AB, BC, BD bằng nhau và vuông góc với nhau từng đôi một. Khẳng định nào sau đây đúng? ....

• Câu 7 trang 75 SBT Toán 11 Tập 2: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A và AB = $a\sqrt{2}$ . Biết SA ⊥ (ABC) và SA = a. ....

• Câu 8 trang 75 SBT Toán 11 Tập 2: Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với mặt phẳng thứ ba thì A. Song song với nhau. B. Trùng nhau. C. Không song song với nhau. ....

• Câu 9 trang 75 SBT Toán 11 Tập 2: Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A'B'C' có tất cả các cạnh bằng a. Khoảng cách từ A đến mặt phẳng (A'BC) bằng ....

• Câu 10 trang 75 SBT Toán 11 Tập 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = 2a, BC = a, mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy ....

• Câu 11 trang 75 SBT Toán 11 Tập 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật với AB = 2a, AD = a. Tam giác SAB là tam giác cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. ....

• Câu 12 trang 75 SBT Toán 11 Tập 2: Cho khối chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật AB = a, AD = $a\sqrt{3}$ , SA vuông góc với đáy và SC tạo với mặt phẳng (SAB) một góc 30°. ....

• Câu 13 trang 75 SBT Toán 11 Tập 2: Cho lăng trụ đứng có đáy tam giác ABC vuông tại B, AB = 2a, BC = a, $A{A}^{\text{'}}=2a\sqrt{3}$ . Thể tích khối lăng trụ ABC.A'B'C' là ....

• Câu 14 trang 75 SBT Toán 11 Tập 2: Gọi V là thể tích của hình lập phương ABCD.A'B'C'D'. V₁ là thể tích của tử diện A'ABD Hệ thức nào sau đây là đúng? ....

• Bài 1 trang 76 SBT Toán 11 Tập 2: Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau. Gọi H là hình chiếu của điểm O trên mặt phẳng (ABC). ....

• Bài 2 trang 76 SBT Toán 11 Tập 2: Cho tứ diện ABCD có hai mặt phẳng (ABC) và (ABD) cùng vuông góc với (DBC). Vẽ các đường cao BE, DF của tam giác BCD ....

• Bài 3 trang 76 SBT Toán 11 Tập 2: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng (ABC) là điểm H thuộc cạnh AB ....

• Bài 4 trang 76 SBT Toán 11 Tập 2: Cho khối chóp tam giác S.ABC có SA ⊥ (ABC), tam giác ABC có độ dài 3 cạnh là AB = 5a, BC = 8a, AC = 7a, góc giữa SB và (ABC) ....

• Bài 5 trang 76 SBT Toán 11 Tập 2: Cho hình lăng trụ đứng có đáy ABC là tam giác vuông tại B. Biết AB = a, BC = $a\sqrt{3}$ , góc giữa hai mặt phẳng ($C^{\text{'}}AB$) và (ABC) bằng 60°. ....

• Bài 6 trang 76 SBT Toán 11 Tập 2: Cho khối lăng trụ đứng $ABC.A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}$  có đáy ABC là tam giác cân với AB = AC = a, $\widehat{BA\text{}C}=120°$ , mặt phẳng (AB'C') tạo với đáy một góc 60°. ....

• Bài 8 trang 76 SBT Toán 11 Tập 2: Một thùng đựng rác có dạng hình chóp cụt tứ giác đều. Đáy và miệng thùng có độ dài lần lượt là 60 cm và 120 cm, cạnh bên ....

Xem thêm lời giải Sách bài tập Toán 11 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

• SBT Toán 11 Bài 4: Khoảng cách trong không gian

• SBT Toán 11 Bài 5: Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng. Góc nhị diện

• SBT Toán 11 Bài 1: Biến cố giao và quy tắc nhân xác suất

• SBT Toán 11 Bài 2: Biến cố hợp và quy tắc cộng xác suất

• SBT Toán 11 Bài tập cuối chương 9

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 11 hay khác:

• Giải sgk Toán 11 Chân trời sáng tạo
• Giải Chuyên đề học tập Toán 11 Chân trời sáng tạo
• Giải SBT Toán 11 Chân trời sáng tạo
• Giải lớp 11 Chân trời sáng tạo (các môn học)
• Giải lớp 11 Kết nối tri thức (các môn học)
• Giải lớp 11 Cánh diều (các môn học)

---