Cho hình thoi ABCD có AB = 2 cm, góc A = 1/2 góc B

Giải SBT Toán 8 Bài 6: Hình thoi - Cánh diều

Bài 30* trang 100 SBT Toán 8 Tập 1: Cho hình thoi ABCD có AB = 2 cm, $\widehat{A}=\frac{1}{2}\widehat{B}$. Các điểm H, K thay đổi lần lượt trên cạnh AD, CD sao cho $\widehat{HBK}=60°$.

a) Chứng minh DH + DK không đổi.

b) Xác định vị trí của các điểm H, K để độ dài HK ngắn nhất. Tính độ dài ngắn nhất đó.

Lời giải:

a) Do ABCD là hình thoi nên DA = AB = 2 cm, $\widehat{ABD}=\widehat{CBD}=\frac{1}{2}\widehat{ABC}$ (BD là đường phân giác của góc ABC).

Mà $\widehat{BAD}=\frac{1}{2}\widehat{ABC}$, suy ra $\widehat{BAD}=\widehat{ABD}$.

Do đó tam giác ABD cân tại D.

Suy ra DA = DB.

Mà AB = DA, suy ra AB = DA = DB.

Do đó tam giác ABD đều nên $\widehat{BAD}=\widehat{ABD}=\widehat{ADB}=60°$.

Suy ra $\widehat{BDC}=\widehat{ABD}=60°$ (hai góc so le trong của AB // CD).

Ta có: $\widehat{ABH}+\widehat{HBD}=\widehat{ABD}=60°$; $\widehat{HBD}+\widehat{DBK}=\widehat{HBK}=60°$

Suy ra $\widehat{ABH}=\widehat{DBK}$.

Xét ∆ABH và ∆DBK có:

$\widehat{ABH}=\widehat{DBK}$; AB = BD; $\widehat{BAH}=\widehat{BDK}\left(=60°\right)$

Do đó ∆ABH = ∆DBK (g.c.g).

Suy ra AH = DK (hai cạnh tương ứng).

Do đó DH + DK = DH + AH = AD (không đổi)

Vậy DH + DK không đổi.

b) Do ∆ABH = ∆DBK (câu a) nên BH = BK (hai cạnh tương ứng).

Tam giác BHK có BH = BK và $\widehat{HBK}=60°$ nên tam giác BHK là tam giác đều.

Suy ra HK = BH = BK.

Do đó, độ dài HK ngắn nhất khi BH và BK ngắn nhất.

Khi đó H, K lần lượt là hình chiếu của B trên AD, CD.

Xét ∆ABH vuông tại H và ∆DBH vuông tại H có:

AB = BD, cạnh BH chung

Do đó ∆ABH = ∆DBH (cạnh huyền – cạnh góc vuông).

Suy ra $AH=DH=\frac{AD}{2}=\frac{2}{2}=1\left(\text{cm}\right)$.

Áp dụng định lý Pythagore cho tam giác ABH vuông tại H, ta có:

AB² = AH² + BH²

Suy ra BH² = AB² – AH² = 2² – 1² = 4 – 1 = 3.

Do đó $BH=\sqrt{3}\text{ cm}$ .

Vậy độ dài ngắn nhất của HK là $\sqrt{3}\text{ cm}$.

Lời giải SBT Toán 8 Bài 6: Hình thoi hay khác:

• Bài 26 trang 99 SBT Toán 8 Tập 1: Cho hình thoi ABCD có góc B tù. Kẻ BE vuông góc AD tại E, BF vuông góc ....

• Bài 27 trang 99 SBT Toán 8 Tập 1: Cho một hình thoi có độ dài hai đường chéo là $\frac{18}{5}\text{ m}$ ....

• Bài 28 trang 100 SBT Toán 8 Tập 1: Cho tam giác ABC nhọn có các đường cao BD, CE. Tia phân giác của các góc ACE ....

• Bài 29 trang 100 SBT Toán 8 Tập 1: Cho góc xOy khác góc bẹt. Dùng thước hai lề (thước có hai cạnh song song) ....

Xem thêm các bài giải sách bài tập Toán lớp 8 Cánh diều hay, chi tiết khác:

• SBT Toán 8 Bài 3: Hình thang cân

• SBT Toán 8 Bài 4: Hình bình hành

• SBT Toán 8 Bài 5: Hình chữ nhật

• SBT Toán 8 Bài 7: Hình vuông

• SBT Toán 8 Bài tập cuối chương 5

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 8 hay khác:

• Giải sgk Toán 8 Cánh diều
• Giải SBT Toán 8 Cánh diều
• Giải lớp 8 Cánh diều (các môn học)
• Giải lớp 8 Kết nối tri thức (các môn học)
• Giải lớp 8 Chân trời sáng tạo (các môn học)

Săn SALE shopee tháng này:

• Unilever mua 1 tặng 1
• L'Oreal mua 1 tặng 3
• La Roche-Posay mua là có quà:

---