Bài 3 trang 115 Toán 11 Tập 2 Cánh diều

Siêu sale 5-5 Shopee

Giải Toán 11 Bài 6: Hình lăng trụ đứng. Hình chóp đều. Thể tích của một số hình khối - Cánh diều

Bài 3 trang 115 Toán 11 Tập 2: Cho hình lăng trụ đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Góc giữa đường thẳng AC’ và mặt phẳng (ABCD) bằng 60°.

Quảng cáo

a) Chứng minh rằng hai mặt phẳng (ACC’A’) và (BDD’B’) vuông góc với nhau.

b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và C’D’.

Lời giải:

Bài 3 trang 115 Toán 11 Tập 2 | Cánh diều Giải Toán 11

a) Ta có ABCD.A’B’C’D’ là hình lăng trụ đứng nên BB’ ⊥ (ABCD).

Mà AC ⊂ (ABCD) nên BB’ ⊥ AC.

Do ABCD là hình vuông nên AC ⊥ BD.

Ta có: AC ⊥ BB’, AC ⊥ BD và BB’ ∩ BD = B trong (BDD’B’).

Suy ra AC ⊥ (BDD’B’).

Hơn nữa AC ⊂ (ACC’A’).

Từ đó, ta có (ACC’A’) ⊥ (BDD’B’).

b) Vì ABCD.A’B’C’D’ là hình lăng trụ đứng nên C’D’DC là hình chữ nhật.

Do đó CD // C’D’.

Mà CD // AB (do ABCD là hình vuông) nên AB // C’D’.

Khi đó, d(AB, C’D’) = d(B, C’D’). (1)

Vì ABCD.A’B’C’D’ là hình lăng trụ đứng và đáy ABCD là hình vuông nên A’B’C’D’ cũng là hình vuông.

Do đó C’D’ ⊥ B’C’.

Ta có: C’D’ ⊥ B’C’;

C’D’ ⊥ C’C (do C’D’DC là hình chữ nhật);

B’C’ ∩ C’C = C’ trong (BCC’B’).

Suy ra C’D’ ⊥ (B’C’CB).

Mà BC’ ⊂ (B’C’CB) nên C’D’ ⊥ BC’.

Khi đó d(B, C’D’) = BC’. (2)

Từ (1) và (2) ta có: d(AB, C’D’) = BC’.

Do ABCD.A’B’C’D’ là hình lăng trụ đứng nên C’C ⊥ (ABCD).

Khi đó AC là hình chiếu của AC’ trên (ABCD).

Suy ra góc giữa đường thẳng AC’ và mặt phẳng (ABCD) bằng $\hat{C^{'} A C} = 60 ° .$

Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác ABC vuông tại B có:

AC² = AB² + BC² = a² + a² = 2a².

Suy ra $A C = a \sqrt{2} .$

Ta có: C’C ⊥ (ABCD) và AC ⊂ (ABCD) nên C’C ⊥ AC.

Xét tam giác C’AC vuông tại C (do C’C ⊥ AC) có: $\tan \hat{C^{'} A C} = \frac{C^{'} C}{A C}$

Do đó $C^{'} C = A C . \tan \hat{C^{'} A C} = a \sqrt{2} . \tan 60 ° = a \sqrt{6} .$

Do ABCD.A’B’C’D’ là hình lăng trụ đứng nên B’C’CB là hình chữ nhật.

Suy ra C’C ⊥ BC.

Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác C’CB vuông tại C (vì C’C ⊥ BC) có:

BC’² = CC’² + BC²

Suy ra $B C^{'} = \sqrt{C {C^{'}}^{2} + B C^{2}} = \sqrt{{(a \sqrt{6})}^{2} + a^{2}} = a \sqrt{7} .$

Do đó $d (A B, C^{'} D^{'}) = B C^{'} = a \sqrt{7} .$

Vậy khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và C’D’ bằng $a \sqrt{7} .$

Quảng cáo

Lời giải bài tập Toán 11 Bài 6: Hình lăng trụ đứng. Hình chóp đều. Thể tích của một số hình khối hay, chi tiết khác:

Quảng cáo

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 11 Cánh diều hay, chi tiết khác:

Gói luyện thi online hơn 1 triệu câu hỏi đầy đủ các lớp, các môn, có đáp án chi tiết. Chỉ từ 200k!

Tủ sách VIETJACK shopee lớp 10-11 cho học sinh và giáo viên (cả 3 bộ sách):

Săn shopee siêu SALE :

CHỈ CÒN 250K 1 KHÓA HỌC BẤT KÌ, VIETJACK HỖ TRỢ DỊCH COVID

Đăng ký khóa học tốt 11 dành cho teen 2k4 tại khoahoc.vietjack.com

Giáo án, bài giảng powerpoint Văn, Toán, Lí, Hóa....

4.5 (243)

799,000đs

199,000 VNĐ

Đề thi, chuyên đề Cánh diều, Kết nối tri thức, Chân trời sáng tạo...

4.5 (243)

799,000đ

99,000 VNĐ

Khóa học online bởi các thầy cô VietJack

4.5 (243)

999,000đ

299.000 - 599.000 VNĐ

xem tất cả

Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi online, Bài giảng....miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS.