Bài 5 trang 106 Toán 11 Tập 2 Cánh diều

Giải Toán 11 Bài 5: Khoảng cách - Cánh diều

Bài 5 trang 106 Toán 11 Tập 2: Với giả thiết ở Bài tập 4, hãy:

a) Chứng minh rằng BC // (SAD) và tính khoảng cách giữa BC và mặt phẳng (SAD).

b) Chứng minh rằng BD ⊥ (SAC) và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng BD và SC.

Lời giải:

a) Do ABCD là hình vuông nên BC // AD.

Mà AD ⊂ (SAD) nên BC // (SAD).

Khi đó, d(BC, (SAD)) = d(C, (SAD)) = CD = a.

(vì theo câu a, CD ⊥ (SAD))

Vậy khoảng cách giữa BC và mặt phẳng (SAD) bằng a.

b) Vì ABCD là hình vuông nên BD ⊥ AC.

Do SA ⊥ (ABCD) và BD ⊂ (ABCD) nên SA ⊥ BD.

Ta có: BD ⊥ SA, BD ⊥ AC và SA ∩ AC = A trong (SAC).

Suy ra BD ⊥ (SAC).

Gọi O = AC ∩ BD, kẻ OK ⊥ SC (K ∈ SC).

Do BD ⊥ (SAC) và OK ⊂ (SAC) nên BD ⊥ OK.

Ta có: OK ⊥ SC và OK ⊥ BD.

Từ đó ta có đoạn thẳng OK là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng BD và SC nên d(BD, SC) = OK.

Do ABCD là hình vuông nên $\widehat{ABC}=90°,$ do đó tam giác ABC vuông tại B.

Áp dụng định lí Pythagore trong tam giác ABC vuông tại B có:

AC² = AB² + BC² = a² + a² = 2a².

Suy ra $AC=a\sqrt{2}.$

Do O = AC ∩ BD và AC, BD là hai đường chéo của hình vuông ABCD.

Suy ra O là trung điểm của AC nên $OC=\frac{AC}{2}=\frac{a\sqrt{2}}{2}.$

Do SA ⊥ (ABCD) và AC ⊂ (ABCD) nên SA ⊥ AC.

Áp dụng định lí Pythagore trong tam giác SAC vuông tại A (do SA ⊥ AC) có:

SC² = SA² + AC².

Do đó $SC=\sqrt{a^2+{\left(a\sqrt{2}\right)}^2}=\sqrt{a^2+2a^2}=a\sqrt{3}.$

Xét ∆SAC và ∆OKC có:

$\widehat{SAC}=\widehat{OKC}=90°;$

$\widehat{OCK}$ là góc chung

Do đó ∆SAC ᔕ ∆OKC (g.g).

Suy ra $\frac{SA}{OK}=\frac{SC}{OC}$ (tỉ số đồng dạng)

Nên $OK=\frac{SA.OC}{SC}=\frac{a.\frac{a\sqrt{2}}{2}}{a\sqrt{3}}=\frac{a\sqrt{6}}{6}.$

Khi đó $d\left(BD,SC\right)=OK=\frac{a\sqrt{6}}{6}.$

Vậy khoảng cách giữa hai đường thẳng BD và SC $\frac{a\sqrt{6}}{6}.$

Lời giải bài tập Toán 11 Bài 5: Khoảng cách hay, chi tiết khác:

• Câu hỏi khởi động trang 100 Toán 11 Tập 2: Hình 58 mô tả cách đo chiều cao của một người khi kiểm tra sức khỏe. Coi mặt bản sắt người đó đứng lên là mặt phẳng (P), ....

• Hoạt động 1 trang 101 Toán 11 Tập 2: Khi lắp thiết bị cho nhà bạn Nam, bác thợ khoan tường tại vị trí M trên tường có độ cao so với nền nhà là MH = 80 cm....

• Luyện tập 1 trang 101 Toán 11 Tập 2: Cho hình chóp S.ABC có SA ⊥ (ABC), AI ⊥ BC (I ∈ BC), AH ⊥ SI (H ∈ SI). Chứng minh rằng khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) bằng AH....

• Hoạt động 2 trang 102 Toán 11 Tập 2: Trong Hình 64, hai mép của con đường gợi nên hình ảnh hai đường thẳng song song Δ và ∆’. Xét điểm A trên đường thẳng Δ.....

• Luyện tập 2 trang 102 Toán 11 Tập 2: Người ta dựng các cột đèn vuông góc với mặt đường, trong đó mỗi cột đèn gợi nên hình ảnh một đường thẳng....

• Hoạt động 3 trang 102 Toán 11 Tập 2: Trong Hình 67, thanh gỗ dọc phía trên các cột và mặt đường hành lang gợi nên hình ảnh đường thẳng Δ và mặt phẳng (P) song song với nhau ....

• Luyện tập 3 trang 103 Toán 11 Tập 2: Cho hình chóp S.ABC có SA = a, góc giữa SA và mp(ABC) là 60°. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của cạnh SA và SB. ....

• Hoạt động 4 trang 103 Toán 11 Tập 2: a) Trong Hình 70, sàn nhà và trần nhà của căn phòng gợi nên hình ảnh hai mặt phẳng song song (P), (Q). Chiều cao của căn phòng là 3 m.....

• Luyện tập 4 trang 104 Toán 11 Tập 2: Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có cạnh bên bằng a, góc giữa đường thẳng AA’ và mặt phẳng (ABC) bằng 60°. ....

• Hoạt động 5 trang 104 Toán 11 Tập 2: Trong Hình 73, khuôn cửa phía trên và mép cánh cửa phía dưới gợi nên hình ảnh hai đường thẳng a và b chéo nhau....

• Luyện tập 5 trang 106 Toán 11 Tập 2: Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA ⊥ (ABC). Tính d(SA, BC).....

• Bài 1 trang 106 Toán 11 Tập 2: Hình 76 gợi nên hình ảnh hai mặt phẳng (P) và (Q) song song với nhau. Cột gỗ cao 4,2 m. Khoảng cách giữa (P) và (Q) là bao nhiêu mét?....

• Bài 2 trang 106 Toán 11 Tập 2: Cho hình tứ diện ABCD có AB = a, BC = b, BD = c, $\widehat{ABC}=\widehat{ABD}=\widehat{BCD}=90°.$...

• Bài 3 trang 106 Toán 11 Tập 2: Với giả thiết ở Bài tập 2, hãy: a) Chứng minh rằng MN // BC. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng MN và BC....

• Bài 4 trang 106 Toán 11 Tập 2: Cho hình chóp S.ABCD có SA ⊥ (ABCD), đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA = a (Hình 78).....

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 11 Cánh diều hay, chi tiết khác:

• Toán 11 Bài 3: Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng. Góc nhị diện

• Toán 11 Bài 4: Hai mặt phẳng vuông góc

• Toán 11 Bài 6: Hình lăng trụ đứng. Hình chóp đều. Thể tích của một số hình khối

• Toán 11 Bài tập cuối chương 8

• Toán 11 Chủ đề 2: Tính thể tích một số hình khối trong thực tiễn

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 11 hay khác:

• Giải sgk Toán 11 Cánh diều
• Giải Chuyên đề học tập Toán 11 Cánh diều
• Giải SBT Toán 11 Cánh diều
• Giải lớp 11 Cánh diều (các môn học)
• Giải lớp 11 Kết nối tri thức (các môn học)
• Giải lớp 11 Chân trời sáng tạo (các môn học)

---