HĐ13 trang 52 Toán 11 Tập 2 - Kết nối tri thức

Giải Toán 11 Bài 25: Hai mặt phẳng vuông góc - Kết nối tri thức

HĐ13 trang 52 Toán 11 Tập 2: Cho hình chóp đều $S . A_{1} A_{2} \dots A_{n}$ . Một mặt phẳng không đi qua S và song song với mặt phẳng đáy, cắt các cạnh $S A_{1}, S A_{2}, \dots, S A_{n}$ tương ứng tại $B_{1}, B_{2}, \dots, B_{n}$ (H.7.69).

a) Giải thích vì sao $S . B_{1} B_{2} \dots B_{n}$ là một hình chóp đều.

b) Gọi H là tâm của đa giác $A_{1} A_{2} \dots A_{n}$ . Chứng minh rằng đường thẳng SH đi qua tâm K của đa giác đều $B_{1} B_{2} \dots B_{n}$ và HK vuông góc với các mặt phẳng $(A_{1} A_{2} \dots A_{n})$ , $(B_{1} B_{2} \dots B_{n})$ .

HĐ13 trang 52 Toán 11 Tập 2 | Kết nối tri thức Giải Toán 11

Quảng cáo

Lời giải:

a) Mặt phẳng không đi qua S và song song với mặt phẳng đáy, cắt các cạnh $S A_{1}, S A_{2}, \dots, S A_{n}$ tương ứng tại $B_{1}, B_{2}, \dots, B_{n}$ nên các đa giác A₁A₂…A_n và B₁B₂…B_n có các cạnh tương ứng song song.

Áp dụng định lí Talet trong từng tam giác SA₁A₂; SA₂A₃; …; SA₁A_n, ta được:

$\frac{S B_{1}}{S A_{1}} = \frac{S B_{2}}{S A_{2}} = ... = \frac{S B_{n}}{S A_{n}}$ , suy ra $\frac{B_{1} B_{2}}{A_{1} A_{2}} = \frac{B_{2} B_{3}}{A_{2} A_{3}} = ... = \frac{B_{n} B_{1}}{A_{n} A_{1}}$ .

Vì đa giác $A_{1} A_{2} \dots A_{n}$ đều nên đa giác B₁B₂…B_n đều và SA₁ = SA₂ = … = SA_n nên SB₁ = SB₂ = …= SB_n.

Vậy $S . B_{1} B_{2} \dots B_{n}$ là hình chóp đều.

b) Vì H là tâm của đáy $A_{1} A_{2} \dots A_{n}$ và hình chóp $S . A_{1} A_{2} \dots A_{n}$ là hình chóp đều nên

SH ⊥ (A₁A₂…A_n).

Do (A₁A₂…A_n) // (B₁B₂…B_n ) và SH ⊥ (A₁A₂…A_n) nên SH ⊥ (B₁B₂…B_n ).

Hơn nữa, $S . B_{1} B_{2} \dots B_{n}$ là hình chóp đều nên SH giao với (B₁B₂…B_n ) tại tâm của đáy B₁B₂…B_n .

Vậy đường thẳng SH đi qua tâm K của đa giác đều $B_{1} B_{2} \dots B_{n}$ và HK vuông góc với các mặt phẳng $(A_{1} A_{2} \dots A_{n})$ , $(B_{1} B_{2} \dots B_{n})$ .