Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n, ta có 10^(2n+1) + 1 chia hết cho 11

Giải Chuyên đề Toán 10 Bài tập cuối chuyên đề 2

Bài 2.21 trang 38 Chuyên đề Toán 10: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n, ta có 10^{2n + 1} + 1 chia hết cho 11.

Lời giải:

Ta chứng minh bằng quy nạp theo n.

Bước 1. Với n = 0 ta có 10^{2.0 + 1} + 1 = 11 ⁝ 11.

Như vậy khẳng định đúng cho trường hợp n = 0.

Bước 2. Giả sử khẳng định đúng với n = k, tức là ta có: 10^{2k + 1} + 1 chia hết cho 11.

Ta sẽ chứng minh rằng khẳng định cũng đủng với n = k + 1, nghĩa là ta sẽ chứng minh: 10^{2(k + 1) + 1} + 1 chia hết cho 11.

Thật vậy, ta có:

10^{2(k + 1) + 1} + 1

= 10^{(2k + 1) + 2} + 1

= 100.10^{2k + 1} + 1

= 100.10^{2k + 1} + 100 – 100 + 1

= 100(10^{2k + 1} + 1) – 100 + 1

= 100(10^{2k + 1} + 1) – 99.

Vì 10^{2k + 1} + 1 và 99 đều chia hết cho 11 nên 100(10^{2k + 1} + 1) – 99 chia hết cho 11. Do đó 10^{2(k + 1) + 1} + 1 chia hết cho 11.

Vậy khẳng định đúng với mọi số tự nhiên n.

Xem thêm lời giải bài tập Chuyên đề học tập Toán 10 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

• Bài 2.19 trang 38 Chuyên đề Toán 10: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên , ta có: 2.2¹ + 3.2² + 4.2³ + ... + (n + 1).2ⁿ = n.2^{n + 1} ....

• Bài 2.20 trang 38 Chuyên đề Toán 10: Đặt $S_n=\frac{1}{1.3}+\frac{1}{3.5}+\dots +\frac{1}{(2n-1)(2n+1)}$. Tính S₁, S₂, S₃ ....

• Bài 2.22 trang 38 Chuyên đề Toán 10: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n ≥ 2, ta có 5ⁿ ≥ 3ⁿ + 4ⁿ ....

• Bài 2.23 trang 38 Chuyên đề Toán 10: Khai triển (1 + x)¹⁰; (1,1)¹⁰ và 2 ....

• Bài 2.24 trang 38 Chuyên đề Toán 10: Tìm hệ số của x⁹ trong khai triển thành đa thức của (2x – 3)¹¹ ....

• Bài 2.25 trang 38 Chuyên đề Toán 10: Khai triển đa thức (1 + 2x)¹² thành dạng a₀ + a₁x + a₂x² + ... + a₁₂x¹². Tìm hệ số a_k lớn nhất ....

• Bài 2.26 trang 38 Chuyên đề Toán 10: Chứng minh rằng $C_{2n}^0+C_{2n}^2+C_{2n}^4+\dots +C_{2n}^{2n}=C_{2n}^1+C_{2n}^3+C_{2n}^5+\dots +C_{2n}^{2n-1}$ ....

• Bài 2.27 trang 38 Chuyên đề Toán 10: Tìm giá trị lớn nhất trong các giá trị $C_n^0,C_n^1,\dots ,C_n^n$ ....

• Bài 2.28 trang 38 Chuyên đề Toán 10: Tìm số hạng có giá trị lớn nhất của khai triển (p + q)ⁿ với p > 0, q > 0, p + q = 1 ....

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 10 hay khác:

• Giải Chuyên đề học tập Toán 10 Kết nối tri thức
• Giải Chuyên đề học tập Toán 10 Chân trời sáng tạo
• Giải Chuyên đề học tập Toán 10 Cánh diều
• Giải lớp 10 Kết nối tri thức (các môn học)
• Giải lớp 10 Chân trời sáng tạo (các môn học)
• Giải lớp 10 Cánh diều (các môn học)

---