Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n lớn hơn bằng 2, ta có 5^n lớn hơn bằng (3^n+4^n)

Giải Chuyên đề Toán 10 Bài tập cuối chuyên đề 2

Bài 2.22 trang 38 Chuyên đề Toán 10: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n ≥ 2, ta có 5ⁿ ≥ 3ⁿ + 4ⁿ.

Lời giải:

Ta chứng minh bằng quy nạp theo n.

Bước 1. Với n = 2 ta có 5² = 25 = 3² + 4².                                                

Như vậy khẳng định đúng cho trường hợp n = 2.

Bước 2. Giả sử khẳng định đúng với n = k, tức là ta có: 5^k ≥ 3^k + 4^k.

Ta sẽ chứng minh rằng khẳng định cũng đủng với n = k + 1, nghĩa là ta sẽ chứng minh: 5^{k + 1} ≥ 3^{k + 1} + 4^{k + 1}.

Thật vậy, sử dụng giả thiết quy nạp ta có:

5^{k + 1} = 5.5^k ≥ 5(3^k + 4^k) = 5. 3^k + 5.4^k ≥ 3. 3^k + 4.4^k = 3^{k + 1} + 4^{k + 1}.

Vậy khẳng định đúng với mọi số tự nhiên n.

Xem thêm lời giải bài tập Chuyên đề học tập Toán 10 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

• Bài 2.19 trang 38 Chuyên đề Toán 10: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên , ta có: 2.2¹ + 3.2² + 4.2³ + ... + (n + 1).2ⁿ = n.2^{n + 1} ....

• Bài 2.20 trang 38 Chuyên đề Toán 10: Đặt $S_n=\frac{1}{1.3}+\frac{1}{3.5}+\dots +\frac{1}{(2n-1)(2n+1)}$. Tính S₁, S₂, S₃ ....

• Bài 2.21 trang 38 Chuyên đề Toán 10: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n, ta có 10^{2n + 1} + 1 chia hết cho 11 ....

• Bài 2.23 trang 38 Chuyên đề Toán 10: Khai triển (1 + x)¹⁰; (1,1)¹⁰ và 2 ....

• Bài 2.24 trang 38 Chuyên đề Toán 10: Tìm hệ số của x⁹ trong khai triển thành đa thức của (2x – 3)¹¹ ....

• Bài 2.25 trang 38 Chuyên đề Toán 10: Khai triển đa thức (1 + 2x)¹² thành dạng a₀ + a₁x + a₂x² + ... + a₁₂x¹². Tìm hệ số a_k lớn nhất ....

• Bài 2.26 trang 38 Chuyên đề Toán 10: Chứng minh rằng $C_{2n}^0+C_{2n}^2+C_{2n}^4+\dots +C_{2n}^{2n}=C_{2n}^1+C_{2n}^3+C_{2n}^5+\dots +C_{2n}^{2n-1}$ ....

• Bài 2.27 trang 38 Chuyên đề Toán 10: Tìm giá trị lớn nhất trong các giá trị $C_n^0,C_n^1,\dots ,C_n^n$ ....

• Bài 2.28 trang 38 Chuyên đề Toán 10: Tìm số hạng có giá trị lớn nhất của khai triển (p + q)ⁿ với p > 0, q > 0, p + q = 1 ....

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 10 hay khác:

• Giải Chuyên đề học tập Toán 10 Kết nối tri thức
• Giải Chuyên đề học tập Toán 10 Chân trời sáng tạo
• Giải Chuyên đề học tập Toán 10 Cánh diều

---