Trong mặt phẳng toạ độ, hypebol (H) có phương trình chính tắc Lập phương trình chính tắc của (H) trong mỗi trường hợp

Giải Chuyên đề Toán 10 Bài 6: Hypebol

Bài 3.9 trang 52 Chuyên đề Toán 10: Trong mặt phẳng toạ độ, hypebol (H) có phương trình chính tắc. Lập phương trình chính tắc của (H) trong mỗi trường hợp sau:

a) (H) có nửa trục thực bằng 4, tiêu cự bằng 10;

b) (H) có tiêu cự bằng 2 $\sqrt{13}$ , một đường tiệm cận là y = $\frac{2}{3}$ x;

c) (H) có tâm sai e = $\sqrt{5}$ , và đi qua điểm ( $\sqrt{10}$ ;6).

Quảng cáo

Lời giải:

Gọi phương trình chính tắc của hypebol đã cho là $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ (a > 0, b > 0).

+) Hypebol có nửa trục thực bằng 4 ⇒ a = 4.

+) Hypebol có tiêu cự bằng 10 ⇒ 2c = 10 ⇒ c = 5 ⇒ b² = c² – a² = 5² – 4² = 9.

Vậy phương trình chính tắc của hypebol đã cho là hay $\frac{x^{2}}{16} - \frac{y^{2}}{9} = 1.$

Gọi phương trình chính tắc của hypebol đã cho là $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ (a > 0, b > 0).

+) Hypebol có tiêu cự bằng 2 $\sqrt{13}$ ⇒ 2c = 2 $\sqrt{13}$ ⇒ c = $\sqrt{13}$ .

+) Hypebol có một đường tiệm cận là y = $\frac{2}{3}$ x ⇒ $\frac{b}{a} = \frac{2}{3}$

$\Rightarrow \frac{b}{2} = \frac{a}{3} \Rightarrow \frac{b^{2}}{4} = \frac{a^{2}}{9} = \frac{b^{2} + a^{2}}{4 + 9} = \frac{c^{2}}{13} = \frac{{(\sqrt{13})}^{2}}{13} = 1$

$\Rightarrow \{\begin{cases} b^{2} = 4 \\ a^{2} = 9 \end{cases} .$

Vậy phương trình chính tắc của hypebol đã cho là hay $\frac{x^{2}}{9} - \frac{y^{2}}{4} = 1.$

Gọi phương trình chính tắc của hypebol đã cho là $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ (a > 0, b > 0).

+) Hypebol có tâm sai e = $\sqrt{5}$ ⇒ $\frac{c}{a}$ = $\sqrt{5}$

$\Rightarrow c = a \sqrt{5} \Rightarrow c^{2} = 5 a^{2} \Rightarrow b^{2} = c^{2} - a^{2} = 4 a^{2}$ (1).

+) Hypebol đi qua điểm ( $\sqrt{10}$ ;6) ⇒ $\frac{{(\sqrt{10})}^{2}}{a^{2}} - \frac{6^{2}}{b^{2}} = 1$ ⇒ $\frac{10}{a^{2}} - \frac{36}{b^{2}} = 1$ (2).

Thế (1) vào (2) ta được:

$\Rightarrow \frac{10}{a^{2}} - \frac{36}{4 a^{2}} = 1 \Rightarrow \frac{10}{a^{2}} - \frac{9}{a^{2}} = 1 \Rightarrow \frac{1}{a^{2}} = 1 \Rightarrow a^{2} = 1 \Rightarrow b^{2} = 4.$