Cho góc anpha thỏa mãn 0 độ < α < 180 độ, tan anpha = căn2

SBT Toán 10 Kết nối tri thức Bài 5: Giá trị lượng giác của một góc từ 0 độ đến 180 độ

Bài 3.4 trang 33 sách bài tập Toán 10 Tập 1: Cho góc α thỏa mãn 0° < α < 180°, tanα = $\sqrt{2}$. Tính giá trị của biểu thức

K = $\frac{{\sin }^3\alpha +\sin \alpha .{\cos }^2\alpha +2{\sin }^2\alpha .\cos \alpha -4{\cos }^3\alpha }{\sin \alpha -\cos \alpha }$.

Lời giải:

Do 0° < α < 180° nên sinα > 0.

Mà tanα = $\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }$ = $\sqrt{2}$ > 0 nên sinα và cosα cùng dấu, do đó cosα > 0.

Chia cả tử và mẫu của K cho cos³α ta được:

K = $\frac{\frac{{\sin }^3\alpha }{{\cos }^3\alpha }+\frac{\sin \alpha .{\cos }^2\alpha }{{\cos }^3\alpha }+\frac{2{\sin }^2\alpha .\cos \alpha }{{\cos }^3\alpha }-\frac{4{\cos }^3\alpha }{{\cos }^3\alpha }}{\frac{\sin \alpha }{{\cos }^3\alpha }-\frac{\cos \alpha }{{\cos }^3\alpha }}$

= $\frac{{\tan }^3\alpha +\tan \alpha +2{\tan }^2\alpha -4}{\tan \alpha .\frac{1}{{\cos }^2\alpha }-\frac{1}{{\cos }^2\alpha }}$

= $\frac{{\tan }^3\alpha +\tan \alpha +2{\tan }^2\alpha -4}{\frac{1}{co{s}^2\alpha }\left(\tan \alpha -1\right)}$

= $\frac{{\tan }^3\alpha +\tan \alpha +2{\tan }^2\alpha -4}{\left({\tan }^2\alpha +1\right).\left(\tan \alpha -1\right)}$

= $\frac{{\tan }^3\alpha +\tan \alpha +2{\tan }^2\alpha -4}{{\tan }^3\alpha +\tan \alpha -{\tan }^2\alpha -1}$

= $\frac{{\left(\sqrt{2}\right)}^3+\sqrt{2}+2{\left(\sqrt{2}\right)}^2-4}{{\left(\sqrt{2}\right)}^3+\sqrt{2}-{\left(\sqrt{2}\right)}^2-1}$

= $\frac{2\sqrt{2}+\sqrt{2}+4-4}{2\sqrt{2}+\sqrt{2}-2-1}$

= $\frac{3\sqrt{2}}{3\sqrt{2}-3}$ = $\frac{3\sqrt{2}}{3\left(\sqrt{2}-1\right)}$

= $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}-1}$ = $\frac{\sqrt{2}\left(\sqrt{2}+1\right)}{\left(\sqrt{2}-1\right)\left(\sqrt{2}+1\right)}$

= $\frac{\sqrt{2}\left(\sqrt{2}+1\right)}{2-1}=2+\sqrt{2}$

Vậy K = 2 + $\sqrt{2}.$

Xem thêm các bài giải sách bài tập Toán lớp 10 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

• Bài 3.1 trang 32 sách bài tập Toán 10 Tập 1: Tính giá trị của biểu thức ....

• Bài 3.2 trang 32 sách bài tập Toán 10 Tập 1: Cho góc α, 90° < α < 180° thỏa mãn ....

• Bài 3.3 trang 33 sách bài tập Toán 10 Tập 1: Cho góc α thỏa mãn 0° < α < 180° ....

• Bài 3.5 trang 33 sách bài tập Toán 10 Tập 1: Chứng minh rằng ....

• Bài 3.6 trang 33 sách bài tập Toán 10 Tập 1: Góc nghiêng của Mặt Trời tại một vị trí trên Trái Đất là góc nghiêng giữa tia nắng lúc giữa trưa với mặt đất....

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 10 hay khác:

• Giải sgk Toán 10 Kết nối tri thức
• Giải Chuyên đề học tập Toán 10 Kết nối tri thức
• Giải SBT Toán 10 Kết nối tri thức

---