Cho điểm M(x0; y0) thuộc elip (E) có phương trình trang 29 SBT Toán lớp 10 Tập 2

Sách bài tập Toán 10 Bài 22: Ba đường conic

Bài 7.36 trang 47 Sách bài tập Toán lớp 10 Tập 2: Cho điểm M(x₀; y₀) thuộc elip (E) có phương trình $\frac{x^2}{2}+\frac{y^2}{1}=1$.

a) Tính MF₁² – MF₂² theo x₀; y₀. Từ đó tính MF₁, MF₂, theo x₀; y₀.

b) Tìm điểm M sao cho MF₂ = 2MF₁.

c) Tìm M sao cho góc nhìn của M tới hai đểm F₁; F₂ (tức là góc $\widehat{F_{1}M{F}_2}$) là lớn nhất ?

Lời giải:

Từ phương trình chính tắc của (E) ta có

b = 1, $a=\sqrt{2},c=\sqrt{a^2-b^2}=\sqrt{2-1}=1$.

(E) có hai tiêu điểm là F₁(–1; 0); F₂(1; 0).

a)

Ta có:

MF₁² = (x₀ + 1)² + (y₀ – 0)² = (x₀ + 1)² + y₀²

MF₂² = (x₀ – 1)² + (y₀ – 0)² = (x₀ – 1)² + y₀²

MF₁² – MF₂²

= (x₀ + 1)² + y₀² – [(x₀ – 1)² + y₀²]

= (x₀ + 1)² – (x₀ – 1)²

= x₀² + 2x₀ + 1 – (x₀² – 2x₀ + 1)

= 4x₀.

Mặt khác, do M thuộc (E) nên ta có:

MF₁ + MF₂ = 2a = $2\sqrt{2}$ (1)

Mà: (MF₁ – MF₂)(MF₁ + MF₂) = MF₁² – MF₂²

$\Rightarrow M{F}_1-M{F}_2=\frac{M{F}_1^2-M{F}_2^2}{M{F}_1+M{F}_2}=\frac{4x_o}{2\sqrt{2}}=\sqrt{2}{x}_o$ (2)

Cộng hai vế của (1) và (2) ta có:

2MF₁ = $2\sqrt{2}$ + $\sqrt{2}{x}_o$

⇔ MF₁ = $\sqrt{2}$ + $\frac{x_o}{\sqrt{2}}$

⇒ MF₂ = $2\sqrt{2}-\sqrt{2}-\frac{x_o}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}-\frac{x_o}{\sqrt{2}}$.

b)

Sử dụng kết quả của phần a) ta có:

Mặt khác do M thuộc (E) nên ta có:

Vậy $M\left(-\frac{2}{3};\frac{\sqrt{7}}{3}\right)$ hoặc $M\left(-\frac{2}{3};-\frac{\sqrt{7}}{3}\right)$.

c)

Áp dụng định lí côsin trong tam giác MF₁F₂, ta có

Ta có: $\frac{x_o^2}{2}=1-y_o^2\le 1$ ⇔ 0 ≤ x₀² ≤ 2 ⇒ 4 – x₀² > 0.

Suy ra $\cos \widehat{F_{1}M{F}_2}\ge 0\Rightarrow \widehat{F_{1}M{F}_2}\le {90}^0$

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x₀ = 0 ⇒ y₀ = ±1

Vậy M(0; 1) hoặc M(0; –1) thì M nhìn hai tiêu điểm dưới góc nhìn lớn nhất.

Xem thêm các bài giải sách bài tập Toán lớp 10 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

• Bài 7.28 trang 46 sách bài tập Toán lớp 10 Tập 2: Cho elip (E) có phương trình $\frac{x^2}{36}+\frac{y^2}{16}=1$. Tìm tiêu điểm và tiêu cự của elip ....

• Bài 7.29 trang 46 sách bài tập Toán lớp 10 Tập 2: Cho hypebol (H) có phương trình $\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{20}=1$. Tìm tiêu điểm và tiêu cự của hypebol ....

• Bài 7.30 trang 46 sách bài tập Toán lớp 10 Tập 2: Cho parabol (P) có phương trình y² = 4x. Tìm tiêu điểm và đường chuẩn của parabol ....

• Bài 7.31 trang 46 sách bài tập Toán lớp 10 Tập 2: Viết phương trình chính tắc của elip (E), biết (E) đi qua điểm A(6; 0) và có tiêu cự bằng 8 ....

• Bài 7.32 trang 46 sách bài tập Toán lớp 10 Tập 2: Viết phương trình chính tắc của hypebol (H), biết (H) đi qua điểm $M(3\sqrt{2};-4)$ ....

• Bài 7.33 trang 46 sách bài tập Toán lớp 10 Tập 2: Viết phương trình chính tắc của parabol (P), biết rằng (P) có đường chuẩn là đường thẳng Δ: x + 4 = 0 ....

• Bài 7.34 trang 46 sách bài tập Toán lớp 10 Tập 2: Cho parabol (P) có phương trình là y² = 16x. Gọi Δ là đường thẳng bất kì đi qua tiêu điểm F ....

• Bài 7.35 trang 46 sách bài tập Toán lớp 10 Tập 2: Một người kĩ sư thiết kế một đường hầm một chiều có mặt cắt là một nửa hình elip, chiều rộng của hầm là 12 m ....

• Bài 7.37 trang 47 sách bài tập Toán lớp 10 Tập 2: Mặt Trăng chuyển động quanh Trái Đất theo quỹ đạo là một đường elip với tâm Trái Đất là một tiêu điểm ....

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 10 hay khác:

• Giải sgk Toán 10 Kết nối tri thức
• Giải Chuyên đề học tập Toán 10 Kết nối tri thức
• Giải SBT Toán 10 Kết nối tri thức
• Giải lớp 10 Kết nối tri thức (các môn học)
• Giải lớp 10 Chân trời sáng tạo (các môn học)
• Giải lớp 10 Cánh diều (các môn học)

---