Cho parabol (P) có phương trình là y^2 = 16x. Gọi Δ là đường thẳng bất kì

SBT Toán 10 Kết nối tri thức Bài 22: Ba đường conic

Bài 7.34 trang 46 sách bài tập Toán 10 Tập 2: Cho parabol (P) có phương trình là y² = 16x. Gọi Δ là đường thẳng bất kì đi qua tiêu điểm F của (P) và không trùng với trục hoành. Chứng minh rằng Δ luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt A, B, đồng thời tích các khoảng cách từ A và B đến trục hoành không đổi.

Lời giải:

Gọi vectơ chỉ phương của Δ là $\overrightarrow{u_{∆}}=\left(a;b\right)$. Vì Δ đi qua điểm F(4; 0) và Δ không trùng với trục Ox nên ta có b ≠ 0. Phương trình tham số của Δ là

Toạ độ giao điểm của Δ và (P) ứng với thoả mãn phương trình

(bt)² =16 . (4 + at) ⇔ b²t² – 16at – 64 = 0. (1)

Phương trình (1) có Δ’ = 64a² + 64b² > 0 (do b ≠ 0), suy ra phương trình (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt. Vậy Δ luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt A, B.

Gọi A(4 + at₁; bt₁), B(4 + at₂; bt₂), trong đó t₁, t₂ là hai nghiệm của phương trình (1).

Ta có

Dựa vào phương trình (1). Theo định lí Vi–ét ta có: $t_1{t}_2=\frac{-64}{b^2}$. Từ đó suy ra

Vậy tích các khoảng cách từ A và B đến trục hoành không đổi.

Xem thêm các bài giải sách bài tập Toán lớp 10 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

• Bài 7.28 trang 46 sách bài tập Toán 10 Tập 2: Cho elip (E) có phương trình $\frac{x^2}{36}+\frac{y^2}{16}=1$. Tìm tiêu điểm và tiêu cự của elip ....

• Bài 7.29 trang 46 sách bài tập Toán 10 Tập 2: Cho hypebol (H) có phương trình $\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{20}=1$. Tìm tiêu điểm và tiêu cự của hypebol ....

• Bài 7.30 trang 46 sách bài tập Toán 10 Tập 2: Cho parabol (P) có phương trình y² = 4x. Tìm tiêu điểm và đường chuẩn của parabol ....

• Bài 7.31 trang 46 sách bài tập Toán 10 Tập 2: Viết phương trình chính tắc của elip (E), biết (E) đi qua điểm A(6; 0) và có tiêu cự bằng 8 ....

• Bài 7.32 trang 46 sách bài tập Toán 10 Tập 2: Viết phương trình chính tắc của hypebol (H), biết (H) đi qua điểm $M(3\sqrt{2};-4)$ ....

• Bài 7.33 trang 46 sách bài tập Toán 10 Tập 2: Viết phương trình chính tắc của parabol (P), biết rằng (P) có đường chuẩn là đường thẳng Δ: x + 4 = 0 ....

• Bài 7.35 trang 46 sách bài tập Toán 10 Tập 2: Một người kĩ sư thiết kế một đường hầm một chiều có mặt cắt là một nửa hình elip, chiều rộng của hầm là 12 m ....

• Bài 7.36 trang 47 sách bài tập Toán 10 Tập 2: Cho điểm M(x₀; y₀) thuộc elip (E) có phương trình $\frac{x^2}{2}+\frac{y^2}{1}=1$ ....

• Bài 7.37 trang 47 sách bài tập Toán 10 Tập 2: Mặt Trăng chuyển động quanh Trái Đất theo quỹ đạo là một đường elip với tâm Trái Đất là một tiêu điểm ....

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 10 hay khác:

• Giải sgk Toán 10 Kết nối tri thức
• Giải Chuyên đề học tập Toán 10 Kết nối tri thức
• Giải SBT Toán 10 Kết nối tri thức

---