Cho dãy số (un) biết u1 = – 2 trang 51 SBT Toán 11

Giải SBT Toán 11 Cánh diều Bài 2: Cấp số cộng

Bài 27 trang 51 SBT Toán 11 Tập 1: Cho dãy số (u_n) biết u₁ = – 2, $u_{n+1}=\frac{u_n}{1-u_n}$  với n ∈ ℕ^*. Đặt $v_n=\frac{u_n+1}{u_n}$  với n ∈ ℕ^*.

a) Chứng minh rằng dãy số (v_n) là một cấp số cộng. Tìm số hạng đầu, công sai của cấp số cộng đó.

b) Tìm công thức của v_n, u_n tính theo n.

c) Tính tổng $S=\frac{1}{u_1}+\frac{1}{u_2}+\frac{1}{u_3}+\mathrm{...}+\frac{1}{u_{20}}$ .

Lời giải:

a) Ta có $v_n=\frac{u_n+1}{u_n}=1+\frac{1}{u_n}$ , $v_{n+1}=1+\frac{1}{u_{n+1}}=1+\frac{1}{\frac{u_n}{1-u_n}}=1+\frac{1-u_n}{u_n}=\frac{1}{u_n}$ .

Khi đó, $v_{n+1}-v_n=\frac{1}{u_n}-\left(1+\frac{1}{u_n}\right)=-1$  không đổi với mọi n ∈ ℕ^*.

Vậy dãy số (v_n) là một cấp số cộng có số hạng đầu là $v_1=1+\frac{1}{u_1}=1+\frac{1}{-2}=\frac{1}{2}$  và công sai d = – 1.

b) Ta có $v_n=v_1+\left(n-1\right)d=\frac{1}{2}+\left(n-1\right).\left(-1\right)=\frac{1}{2}-n+1=\frac{3}{2}-n$ .

Vì $v_n=1+\frac{1}{u_n}$  nên $1+\frac{1}{u_n}=\frac{3}{2}-n$ $\iff \frac{1}{u_n}=\frac{1}{2}-n$ $\iff u_n=\frac{2}{1-2n}$ .

Vậy $v_n=\frac{3}{2}-n$  và $u_n=\frac{2}{1-2n}$ .

c) Từ $v_n=1+\frac{1}{u_n}$ , suy ra $\frac{1}{u_n}=v_n-1$ .

Khi đó ta có $S=\frac{1}{u_1}+\frac{1}{u_2}+\frac{1}{u_3}+\mathrm{...}+\frac{1}{u_{20}}$

          = (v₁ – 1) + (v₂ – 1) + (v₃ – 1) + ... + (v₂₀ – 1)

          = (v₁ + v₂ + v₃ + ... + v₂₀) – 20.

Mà v₁ + v₂ + v₃ + ... + v₂₀ là tổng 20 số hạng đầu của cấp số cộng (v_n) nên

v₁ + v₂ + v₃ + ... + v₂₀ = .

Do đó, S = – 180 – 20 = – 200.

Lời giải SBT Toán 11 Bài 2: Cấp số cộng hay khác:

• Bài 15 trang 50 SBT Toán 11 Tập 1: Trong các dãy số (u_n) với số hạng tổng quát sau, dãy số nào là cấp số cộng? ....

• Bài 16 trang 50 SBT Toán 11 Tập 1: Cho cấp số cộng (u_n) biết $u_1=\frac{1}{3}$ ; u₈ = 26. Công sai d của cấp số cộng đó là: ....

• Bài 17 trang 50 SBT Toán 11 Tập 1: Viết ba số hạng xen giữa các số 2 và 22 để được một cấp số cộng có năm số hạng. Ba số hạng đó lần lượt là: ....

• Bài 18 trang 50 SBT Toán 11 Tập 1: Cho cấp số cộng (u_­n) biết u₅ + u₇ = 19. Giá trị của u₂ + u₁₀ là: ....

• Bài 19 trang 50 SBT Toán 11 Tập 1: Cho (u_n) là cấp số cộng có số hạng đầu u₁ = 2, công sai d = − 5. Tổng 10 số hạng đầu của cấp số cộng đó là: ....

• Bài 20 trang 50 SBT Toán 11 Tập 1: Cho (u_n) là cấp số cộng có S_n = n² + 4n với n ∈ ℕ^*. Số hạng đầu u₁ và công sai d của cấp số cộng đó là: ....

• Bài 21 trang 50 SBT Toán 11 Tập 1: Cho ba số $\frac{1}{b+c},\frac{1}{c+a},\frac{1}{a+b}$  theo thứ tự lập thành cấp số cộng. Chứng minh rằng ba số a², b², c² theo thứ tự ....

• Bài 22 trang 50 SBT Toán 11 Tập 1: Tìm x để ba số 10 – 3x, 2x² + 3, 7 – 4x theo thứ tự lập thành một cấp số cộng. ....

• Bài 23 trang 50 SBT Toán 11 Tập 1: Tìm số hạng đầu và công sai của cấp số cộng (u_n), biết: ....

• Bài 24 trang 50 SBT Toán 11 Tập 1: Cho (u_n) là cấp số cộng có u₂ + u₄ = 22, u₁ . u₅ = 21 và công sai d dương. ....

• Bài 25 trang 50 SBT Toán 11 Tập 1: Tìm năm số hạng liên tiếp của một cấp số cộng, biết tổng của chúng bằng 40 và tổng bình phương của chúng bằng 480. ....

• Bài 26 trang 51 SBT Toán 11 Tập 1: Cho (u_n) là cấp số cộng có u₁ + u₅ + u₉ + u₁₃ + u₁₇ + u₂₁ = 234. ....

• Bài 28 trang 51 SBT Toán 11 Tập 1: Chuông đồng hồ ở một toà tháp đánh số tiếng đúng bằng số giờ và cứ mỗi 30 phút không phải là giờ đúng thì đánh 1 tiếng chuông ....

• Bài 29 trang 51 SBT Toán 11 Tập 1: Các khúc gỗ được xếp như Hình 2. Lượt thứ nhất có 21 khúc, lượt thứ hai có 20 khúc, ..., lượt trên cùng có 15 khúc ....

Xem thêm lời giải Sách bài tập Toán 11 Cánh diều hay, chi tiết khác:

• SBT Toán 11 Bài 3: Cấp số nhân

• SBT Toán 11 Bài tập cuối chương 2

• SBT Toán 11 Bài 1: Giới hạn của dãy số

• SBT Toán 11 Bài 2: Giới hạn của hàm số

• SBT Toán 11 Bài 3: Hàm số liên tục

Săn SALE shopee Tết:

• Mỹ phẩm SACE LADY giảm tới 200k
• SRM Simple tặng tẩy trang 50k
• Combo Dầu Gội, Dầu Xả TRESEMME 80k

---