Cho dãy số (un) biết u1 = – 2 trang 51 SBT Toán 11

Giảm giá 50% sách VietJack đánh giá năng lực các trường trên Shopee Mall

Giải SBT Toán 11 Cánh diều Bài 2: Cấp số cộng

Bài 27 trang 51 SBT Toán 11 Tập 1: Cho dãy số (u_n) biết u₁ = – 2, $u_{n + 1} = \frac{u_{n}}{1 - u_{n}}$ với n ∈ ℕ^*. Đặt $v_{n} = \frac{u_{n} + 1}{u_{n}}$ với n ∈ ℕ^*.

a) Chứng minh rằng dãy số (v_n) là một cấp số cộng. Tìm số hạng đầu, công sai của cấp số cộng đó.

b) Tìm công thức của v_n, u_n tính theo n.

c) Tính tổng $S = \frac{1}{u_{1}} + \frac{1}{u_{2}} + \frac{1}{u_{3}} + ... + \frac{1}{u_{20}}$ .

Quảng cáo

Lời giải:

a) Ta có $v_{n} = \frac{u_{n} + 1}{u_{n}} = 1 + \frac{1}{u_{n}}$ , $v_{n + 1} = 1 + \frac{1}{u_{n + 1}} = 1 + \frac{1}{\frac{u_{n}}{1 - u_{n}}} = 1 + \frac{1 - u_{n}}{u_{n}} = \frac{1}{u_{n}}$ .

Khi đó, $v_{n + 1} - v_{n} = \frac{1}{u_{n}} - (1 + \frac{1}{u_{n}}) = - 1$ không đổi với mọi n ∈ ℕ^*.

Vậy dãy số (v_n) là một cấp số cộng có số hạng đầu là $v_{1} = 1 + \frac{1}{u_{1}} = 1 + \frac{1}{- 2} = \frac{1}{2}$ và công sai d = – 1.

b) Ta có $v_{n} = v_{1} + (n - 1) d = \frac{1}{2} + (n - 1) . (- 1) = \frac{1}{2} - n + 1 = \frac{3}{2} - n$ .

Vì $v_{n} = 1 + \frac{1}{u_{n}}$ nên $1 + \frac{1}{u_{n}} = \frac{3}{2} - n$ $\Leftrightarrow \frac{1}{u_{n}} = \frac{1}{2} - n$ $\Leftrightarrow u_{n} = \frac{2}{1 - 2 n}$ .

Vậy $v_{n} = \frac{3}{2} - n$ và $u_{n} = \frac{2}{1 - 2 n}$ .

c) Từ $v_{n} = 1 + \frac{1}{u_{n}}$ , suy ra $\frac{1}{u_{n}} = v_{n} - 1$ .

Khi đó ta có $S = \frac{1}{u_{1}} + \frac{1}{u_{2}} + \frac{1}{u_{3}} + ... + \frac{1}{u_{20}}$

= (v₁ – 1) + (v₂ – 1) + (v₃ – 1) + ... + (v₂₀ – 1)

= (v₁ + v₂ + v₃ + ... + v₂₀) – 20.

Mà v₁ + v₂ + v₃ + ... + v₂₀ là tổng 20 số hạng đầu của cấp số cộng (v_n) nên

v₁ + v₂ + v₃ + ... + v₂₀ = Cho dãy số (un) biết u1 = – 2 trang 51 SBT Toán 11 .

Do đó, S = – 180 – 20 = – 200.

Quảng cáo

Lời giải SBT Toán 11 Bài 2: Cấp số cộng hay khác:

Quảng cáo

Xem thêm lời giải Sách bài tập Toán 11 Cánh diều hay, chi tiết khác:

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 11 hay khác:

Tài liệu cho giáo viên: Giáo án, powerpoint, đề thi giữa kì cuối kì, đánh giá năng lực, thi thử THPT, HSG, chuyên đề, bài tập cuối tuần..... độc quyền VietJack, giá hợp lí

Săn SALE shopee Tết:

ĐỀ THI, GIÁO ÁN, SÁCH LUYỆN THI DÀNH CHO GIÁO VIÊN VÀ PHỤ HUYNH LỚP 11

Bộ giáo án, bài giảng powerpoint, đề thi, sách dành cho giáo viên và gia sư dành cho phụ huynh tại https://tailieugiaovien.com.vn/ . Hỗ trợ zalo VietJack Official

Tổng đài hỗ trợ đăng ký : 084 283 45 85

Giáo án, bài giảng powerpoint Văn, Toán, Lí, Hóa....

4.5 (243)

799,000đs

199,000 VNĐ

Đề thi, chuyên đề Cánh diều, Kết nối tri thức, Chân trời sáng tạo...

4.5 (243)

799,000đ

99,000 VNĐ

Sách luyện 30 đề thi thử THPT năm 2025 mới

4.5 (243)

199,000đ

99.000 - 149.000 VNĐ

xem tất cả

Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi online, Bài giảng....miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS.