Dùng định nghĩa để tính đạo hàm của các hàm số sau fx = căn bậc hai 4x+1 tại x = 2

Trang trước Trang sau

Giải sách bài tập Toán 11 Bài tập cuối chương 7 - Chân trời sáng tạo

Bài 1 trang 45 SBT Toán 11 Tập 2: Dùng định nghĩa để tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) $f (x) = \sqrt{4 x + 1}$ tại x = 2;

b) $f (x) = x^{4}$ tại x = ‒1;

c) $f (x) = \frac{1}{x + 1}$ ;

d) $f (x) = \sqrt[3]{x^{2} + 1}$

Quảng cáo

Lời giải:

a) Với $x_{0} \geq - \frac{1}{4}$ , ta có:

$y^{'} (x_{0}) = \lim_{x \to x_{0}} \frac{f (x) - f (x_{0})}{x - x_{0}} = \lim_{x \to x_{0}} \frac{\sqrt{4 x + 1} - \sqrt{4 x_{0} + 1}}{x - x_{0}}$

$= \lim_{x \to x_{0}} \frac{4 (\sqrt{4 x + 1} - \sqrt{4 x_{0} + 1})}{(4 x + 1) - (4 x_{0} + 1)}$

$= \lim_{x \to x_{0}} \frac{4 (\sqrt{4 x + 1} - \sqrt{4 x_{0} + 1})}{(\sqrt{4 x + 1} - \sqrt{4 x_{0} + 1}) (\sqrt{4 x + 1} + \sqrt{4 x_{0} + 1})}$

$= \lim_{x \to x_{0}} \frac{4}{(\sqrt{4 x + 1} + \sqrt{4 x_{0} + 1})}$

$= \frac{4}{2 \sqrt{4 x_{0} + 1}}$ .

Vậy $y^{'} (2) = \frac{4}{2 \sqrt{4.2 + 1}} = \frac{2}{3}$ .

b) Với $x_{0} \in$ ℝ, ta có:

$y^{'} (x_{0}) = \lim_{x \to x_{0}} \frac{f (x) - f (x_{0})}{x - x_{0}} = \lim_{x \to x_{0}} \frac{x^{4} - {x_{0}}^{4}}{x - x_{0}}$

$= \lim_{x \to x_{0}} \frac{x^{4} - {x_{0}}^{4}}{x - x_{0}} = \lim_{x \to x_{0}} \frac{(x^{2} - {x_{0}}^{2}) (x^{2} + {x_{0}}^{2})}{x - x_{0}}$

$= \lim_{x \to x_{0}} \frac{(x - x_{0}) (x + x_{0}) (x^{2} + {x_{0}}^{2})}{x - x_{0}}$

$= \lim_{x \to x_{0}} (x + x_{0}) (x^{2} + {x_{0}}^{2}) = 2 x_{0} .2 {x_{0}}^{2} = 4 {x_{0}}^{3}$

Vậy $y^{'} (- 1) = 4. {(- 1)}^{3} = - 4$ .

c) Với $x_{0} \neq - 1$ , ta có:

$y^{'} (x_{0}) = \lim_{x \to x_{0}} \frac{f (x) - f (x_{0})}{x - x_{0}} = \lim_{x \to x_{0}} \frac{\frac{1}{x + 1} - \frac{1}{x_{0} + 1}}{x - x_{0}}$

$= \lim_{x \to x_{0}} \frac{\frac{1}{x + 1} - \frac{1}{x_{0} + 1}}{x - x_{0}} = \lim_{x \to x_{0}} \frac{(x_{0} + 1) - (x + 1)}{(x - x_{0}) (x + 1) (x_{0} + 1)}$

$= \lim_{x \to x_{0}} \frac{x_{0} - x}{(x - x_{0}) (x + 1) (x_{0} + 1)} = \lim_{x \to x_{0}} - \frac{1}{(x + 1) (x_{0} + 1)}$

$= - \frac{1}{{(x_{0} + 1)}^{2}}$ .

Vậy $y^{'} (x) = - \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} (x \neq - 1) .$

d) Với $x_{0} \in$ ℝ, ta có:

$y^{'} (x_{0}) = \lim_{x \to x_{0}} \frac{f (x) - f (x_{0})}{x - x_{0}} = \lim_{x \to x_{0}} \frac{\sqrt[3]{x^{2} + 1} - \sqrt[3]{x_{0}^{2} + 1}}{x - x_{0}}$

$= \lim_{x \to x_{0}} \frac{(x + x_{0}) (\sqrt[3]{x^{2} + 1} - \sqrt[3]{x_{0}^{2} + 1})}{(x - x_{0}) (x + x_{0})}$

$= \lim_{x \to x_{0}} \frac{(x + x_{0}) (\sqrt[3]{x^{2} + 1} - \sqrt[3]{x_{0}^{2} + 1})}{x^{2} - x_{0}^{2}}$ $= \lim_{x \to x_{0}} \frac{(x + x_{0}) (\sqrt[3]{x^{2} + 1} - \sqrt[3]{x_{0}^{2} + 1})}{(x^{2} + 1) - (x_{0}^{2} + 1)}$

$= \lim_{x \to x_{0}} \frac{(x + x_{0}) (\sqrt[3]{x^{2} + 1} - \sqrt[3]{x_{0}^{2} + 1})}{(\sqrt[3]{x^{2} + 1} - \sqrt[3]{x_{0}^{2} + 1}) (\sqrt[3]{{(x^{2} + 1)}^{2}} + \sqrt[3]{x^{2} + 1} \sqrt[3]{x_{0}^{2} + 1} + \sqrt[3]{{(x_{0}^{2} + 1)}^{2}})}$

$= \lim_{x \to x_{0}} \frac{x + x_{0}}{\sqrt[3]{{(x^{2} + 1)}^{2}} + \sqrt[3]{x^{2} + 1} \sqrt[3]{x_{0}^{2} + 1} + \sqrt[3]{{(x_{0}^{2} + 1)}^{2}}}$ $= \lim_{x \to x_{0}} \frac{2 x_{0}}{3 \sqrt[3]{{(x_{0}^{2} + 1)}^{2}}}$ .