Tại một bể bơi có dạng hình tròn có đường kính AB = 10 m, một người xuất phát

Giải sách bài tập Toán 11 Bài tập cuối chương 3 - Chân trời sáng tạo

Bài 12 trang 95 SBT Toán 11 Tập 1: Tại một bể bơi có dạng hình tròn có đường kính AB = 10 m, một người xuất phát từ A bơi thẳng theo dây cung AC tạo với đường kính AB một góc $α (0 < α < \frac{π}{2}),$ rồi chạy bộ theo cung nhỏ CB đến điểm B (Hình 4). Gọi S(α) là quãng đường người đó đã di chuyển.

a) Viết công thức tính S(α) theo $α (0 < α < \frac{π}{2})$ .

b) Xét tính liên tục của hàm số y = S(α) trên khoảng $(0; \frac{π}{2})$ .

c) Tính các giới hạn $\lim_{x \to 0^{+}} S (α)$ và $\lim_{x \to {\frac{π}{2}}^{+}} S (α) .$

Quảng cáo

Lời giải:

Kí hiệu O là tâm hình tròn.

Tại một bể bơi có dạng hình tròn có đường kính AB = 10 m, một người xuất phát

a) Do tam giác ABC vuông tại C nên AC = ABcosα = 10cosα (m).

Ta có $\hat{BOC} = 2 \hat{BAC} = 2 α$ .

Suy ra độ dài cung CB là $l = OB . \hat{BOC} = 5 .2 α = 10 α (m)$ .

Quãng đường di chuyển (tính theo m) của người đó là:

$S (α) = AC + l = 10 cos α + 10 α = 10 (α + cos α) (0 < α < \frac{π}{2})$

b) Do các hàm số y = α và y = cosα liên tục trên ℝ nên hàm số y = S(α) liên tục trên ℝ

Mà $(0; \frac{π}{2}) \subset ℝ$ nên hàm số y = S(α) liên tục trên $(0; \frac{π}{2}) .$

c) Ta có:

$\lim_{α \to 0^{+}} S (α) = \lim_{α \to 0^{+}} 10 (α + cos α) = 10 \cdot (0 + cos 0) = 10 \cdot (0 + 1) = 10;$

$lim_{α \to {\frac{π}{2}}^{+}} S (α) = lim_{α \to {\frac{π}{2}}^{+}} 10 (α + cos α) = 10 \cdot (\frac{π}{2} + cos \frac{π}{2}) = 10 \cdot (\frac{π}{2} + 0) = 5 π .$