Xét tính tăng, giảm của các dãy số (un) cho bởi số hạng tổng quát un sau

Giải sách bài tập Toán 11 Bài 1: Dãy số - Chân trời sáng tạo

Bài 6 trang 58 SBT Toán 11 Tập 1: Xét tính tăng, giảm của các dãy số (u_n) cho bởi số hạng tổng quát u_n sau:

a) $u_n=n-\sqrt{n^2-1};$

b) $u_n=\frac{n+{\left(-1\right)}^n}{n^2};$

c) $u_n=\frac{3^n-1}{2^n}.$

Lời giải:

a) Ta có:

$u_{n+1}-u_n=\left[\left(n+1\right)-\sqrt{{\left(n+1\right)}^2-1}\right]-\left(n+\sqrt{n^2-1}\right)$

$=1-\sqrt{{\left(n+1\right)}^2-1}-\sqrt{n^2-1}<\mathrm{0,}\forall n\in {\mathbb{N}}^{\text{*}}$

Suy ra u_n+1 < u_n

Do đó $\left(u_n\right)$ là dãy số giảm.

b) Xét $u_n=\frac{n+{\left(-1\right)}^n}{n^2},$ ta có: $u_1=0;u_2=\frac{3}{4};u_3=\frac{2}{9}$, suy ra $\left\{\begin{array}{l}{u}_2>u_1\\ u_3<u_2\end{array}\right.$.

Do đó, (u_n) là dãy số không tăng, không giảm.

c) Ta có:

u_n+1 - u_n = $\frac{3^{n+1}-1}{2^{n+1}}-\frac{3^n-1}{2^n}=\frac{{3.3}^n-1}{{2.2}^n}-\frac{3^n-1}{2^n}$

          $=\frac{{3.3}^n-1-2\left(3^n-1\right)}{{2.2}^n}=\frac{{3.3}^n-1-{2.3}^n+2}{{2.2}^n}$

          $=\frac{3^n+1}{2^{n+1}}>0,\forall n\in \mathbb{N}*.$

Do đó, (u_n) là dãy số tăng.

Lời giải SBT Toán 11 Bài 1: Dãy số hay khác:

• Bài 1 trang 57 SBT Toán 11 Tập 1: Cho dãy số (u_n) với $u_n=\frac{n+1}{2n+1}.$ Số $\frac{8}{15}$ là số hạng thứ bao nhiêu của dãy số? ....

• Bài 2 trang 57 SBT Toán 11 Tập 1: Dự đoán công thức số hạng tổng quát của dãy số (u_n), biết $\left\{\begin{array}{l}{u}_1=-2\\ u_{n+1}=-2-\frac{1}{u_n}.\end{array}\right.$ ....

• Bài 3 trang 57 SBT Toán 11 Tập 1: Cho dãy số (u_n) xác định bởi $\left\{\begin{array}{l}{u}_1=4\\ u_{n+1}=u_n+n\left(n\ge 1\right)\text{. }\end{array}\right.$ Tìm số hạng thứ năm của dãy số đó. ....

• Bài 4 trang 57 SBT Toán 11 Tập 1: Xét tính bị chặn của dãy số (u_n) với u_n = (‒1)ⁿ. ....

• Bài 5 trang 58 SBT Toán 11 Tập 1: Xét tính tăng, giảm và bị chặn của dãy số (u_n) cho bởi số hạng tổng quát u_n sau: ....

• Bài 7 trang 58 SBT Toán 11 Tập 1: Xét tính tăng, giảm và bị chặn của dãy số (u_n) với $u_n=1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\dots +\frac{1}{n^2}.$....

Xem thêm lời giải Sách bài tập Toán 11 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

• SBT Toán 11 Bài 2: Cấp số cộng

• SBT Toán 11 Bài 3: Cấp số nhân

• SBT Toán 11 Bài tập cuối chương 2

• SBT Toán 11 Bài 1: Giới hạn của dãy số

• SBT Toán 11 Bài 2: Giới hạn của hàm số

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 11 hay khác:

• Giải sgk Toán 11 Chân trời sáng tạo
• Giải Chuyên đề học tập Toán 11 Chân trời sáng tạo
• Giải SBT Toán 11 Chân trời sáng tạo
• Giải lớp 11 Chân trời sáng tạo (các môn học)
• Giải lớp 11 Kết nối tri thức (các môn học)
• Giải lớp 11 Cánh diều (các môn học)

---