Xét tính tăng, giảm và bị chặn của dãy số (un)

Giải sách bài tập Toán 11 Bài 1: Dãy số - Chân trời sáng tạo

Bài 7 trang 58 SBT Toán 11 Tập 1: Xét tính tăng, giảm và bị chặn của dãy số (un) với $u_n=1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\dots +\frac{1}{n^2}.$

Lời giải:

Ta có: $u_n=1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\dots +\frac{1}{n^2};u_{n+1}=1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\dots +\frac{1}{n^2}+\frac{1}{{\left(n+1\right)}^2}$

Suy ra $u_{n+1}-u_n=\frac{1}{{\left(n+1\right)}^2}>\mathrm{0,}\forall n\in {\mathbb{N}}^{\text{*}}$. Suy ra (u_n) là dãy số tăng.

Ta có: $u_n=1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\dots +\frac{1}{n^2}$, suy ra u_n > 1 ∀n ∈ N*. (1)

Hơn nữa: 
$u_n=1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\dots +\frac{1}{n^2}<1+\frac{1}{1\cdot 2}+\frac{1}{2\cdot 3}+\dots +\frac{1}{\left(n-1\right)n},\forall n\in \mathbb{N}*.$

Ta có: $1+\frac{1}{1\cdot 2}+\frac{1}{2\cdot 3}+\dots +\frac{1}{\left(n-1\right)n}$

            $=1+\left(\frac{1}{1}-\frac{1}{2}\right)+\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right)+\mathrm{...}+\left(\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}\right)$

            $=1+\frac{1}{1}-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\mathrm{...}+\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}$

            $=1+1-\frac{1}{n}=2-\frac{1}{n}$

Do đó $u_n<2-\frac{1}{n},$ nên u_n < 2, ∀n ∈ ℕ*. (2)

Từ (1) và (2) ta có 1 < u_n < 2, ∀n ∈ ℕ*.

Suy ra (u_n) là dãy số bị chặn.

Lời giải SBT Toán 11 Bài 1: Dãy số hay khác:

• Bài 1 trang 57 SBT Toán 11 Tập 1: Cho dãy số (u_n) với $u_n=\frac{n+1}{2n+1}.$ Số $\frac{8}{15}$ là số hạng thứ bao nhiêu của dãy số? ....

• Bài 2 trang 57 SBT Toán 11 Tập 1: Dự đoán công thức số hạng tổng quát của dãy số (u_n), biết $\left\{\begin{array}{l}{u}_1=-2\\ u_{n+1}=-2-\frac{1}{u_n}.\end{array}\right.$ ....

• Bài 3 trang 57 SBT Toán 11 Tập 1: Cho dãy số (u_n) xác định bởi $\left\{\begin{array}{l}{u}_1=4\\ u_{n+1}=u_n+n\left(n\ge 1\right)\text{. }\end{array}\right.$ Tìm số hạng thứ năm của dãy số đó. ....

• Bài 4 trang 57 SBT Toán 11 Tập 1: Xét tính bị chặn của dãy số (u_n) với u_n = (‒1)ⁿ. ....

• Bài 5 trang 58 SBT Toán 11 Tập 1: Xét tính tăng, giảm và bị chặn của dãy số (u_n) cho bởi số hạng tổng quát u_n sau: ....

• Bài 6 trang 58 SBT Toán 11 Tập 1: Xét tính tăng, giảm của các dãy số (u_n) cho bởi số hạng tổng quát u_n sau: ....

Xem thêm lời giải Sách bài tập Toán 11 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

• SBT Toán 11 Bài 2: Cấp số cộng

• SBT Toán 11 Bài 3: Cấp số nhân

• SBT Toán 11 Bài tập cuối chương 2

• SBT Toán 11 Bài 1: Giới hạn của dãy số

• SBT Toán 11 Bài 2: Giới hạn của hàm số

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 11 hay khác:

• Giải sgk Toán 11 Chân trời sáng tạo
• Giải Chuyên đề học tập Toán 11 Chân trời sáng tạo
• Giải SBT Toán 11 Chân trời sáng tạo
• Giải lớp 11 Chân trời sáng tạo (các môn học)
• Giải lớp 11 Kết nối tri thức (các môn học)
• Giải lớp 11 Cánh diều (các môn học)

---