Tính các giới hạn sau trang 83 SBT Toán 11 Tập 1

Trang trước Trang sau

SBT Toán 11 Kết nối tri thức Bài 16: Giới hạn của hàm số

Bài 5.12 trang 83 SBT Toán 11 Tập 1: Tính các giới hạn sau:

a) $\lim_{x \to 2} \frac{\sqrt{4 x + 1} - 3}{x - 2}$ ;

b) $\lim_{x \to 1} \frac{x^{3} + x^{2} + x - 3}{x^{3} - 1}$ ;

c) $\lim_{x \to 2^{+}} \frac{x^{2} - 5 x + 6}{{(x - 2)}^{2}}$ ;

d) $\lim_{x \to 0^{-}} \frac{x^{2} + x - 2}{x}$ .

Quảng cáo

Lời giải:

a) $\lim_{x \to 2} \frac{\sqrt{4 x + 1} - 3}{x - 2}$ $= \lim_{x \to 2} \frac{4 x + 1 - 3^{2}}{(x - 2) (\sqrt{4 x + 1} + 3)}$

$= \lim_{x \to 2} \frac{4 (x - 2)}{(x - 2) (\sqrt{4 x + 1} + 3)} = \lim_{x \to 2} \frac{4}{\sqrt{4 x + 1} + 3} = \frac{2}{3}$ .

b) $\lim_{x \to 1} \frac{x^{3} + x^{2} + x - 3}{x^{3} - 1}$ $= \lim_{x \to 1} \frac{(x^{3} - 1) + (x^{2} - 1) + (x - 1)}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}$

$= \lim_{x \to 1} \frac{(x - 1) ((x^{2} + x + 1) + (x + 1) + 1)}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}$ $= \lim_{x \to 1} \frac{x^{2} + 2 x + 3}{x^{2} + x + 1} = \frac{1 + 2 + 3}{1 + 1 + 1} = 2$ .

c) $\lim_{x \to 2^{+}} \frac{x^{2} - 5 x + 6}{{(x - 2)}^{2}}$ $= \lim_{x \to 2^{+}} \frac{(x - 2) (x - 3)}{{(x - 2)}^{2}} = \lim_{x \to 2^{+}} \frac{x - 3}{x - 2}$ .

Vì $\lim_{x \to 2^{+}} (x - 2) = 0, \lim_{x \to 2^{+}} (x - 3) = 2 - 3 = - 1 < 0$ và x – 2 > 0 khi x → 2⁺, nên $\lim_{x \to 2^{+}} \frac{x - 3}{x - 2} = - \infty$ .

Vậy $\lim_{x \to 2^{+}} \frac{x^{2} - 5 x + 6}{{(x - 2)}^{2}} = - \infty$ .

d) $\lim_{x \to 0^{-}} \frac{x^{2} + x - 2}{x}$

Vì $\lim_{x \to 0^{-}} (x^{2} + x - 2) = 0 + 0 - 2 = - 2 < 0$ , $\lim_{x \to 0^{-}} x = 0$ và x < 0 nên $\lim_{x \to 0^{-}} \frac{x^{2} + x - 2}{x} = + \infty$ .