Ta định nghĩa các hàm sin hyperbolic và hàm côsin hyperbolic như sau

SBT Toán 11 Kết nối tri thức Bài 20: Hàm số mũ và hàm số lôgarit

Bài 6.26 trang 14 SBT Toán 11 Tập 2: Ta định nghĩa các hàm sin hyperbolic và hàm côsin hyperbolic như sau:

$\text{sinhx =}\frac{1}{2}\left(e^x-e^{-x}\right);\cosh x=\frac{1}{2}\left(e^x+e^{-x}\right)$.

Chứng minh rằng:

a) sinh x là hàm số lẻ;

b) cosh x là hàm số chẵn;

c) (cosh x)² – (sinh x)² = 1 với mọi x.

Lời giải:

a) Hàm số $\text{f}\left(x\right)\text{ = sinhx =}\frac{1}{2}\left(e^x-e^{-x}\right)$  có tập xác định D = ℝ.

Ta có: ∀ x ∈ D ⇒ – x ∈ D.

Và $\text{f}\left(-x\right)\text{=}\frac{1}{2}\left(e^{-x}-e^x\right)=-\frac{1}{2}\left(e^x-e^{-x}\right)=-\text{f}\left(x\right)$ , ∀ x ∈ ℝ.

Do đó, sinh x là hàm số lẻ.

b) Hàm số $g\left(x\right)=\cosh x=\frac{1}{2}\left(e^x+e^{-x}\right)$  có tập xác định D = ℝ.

Ta có: ∀ x ∈ D ⇒ – x ∈ D.

Và $g\left(-x\right)=\frac{1}{2}\left(e^{-x}+e^x\right)=g\left(x\right)$ , ∀ x ∈ ℝ.

Do đó, cosh x là hàm số chẵn.

c) Ta có: (cosh x)² – (sinh x)²$\text{ =}\frac{1}{4}{\left(e^x+e^{-x}\right)}^2-\frac{1}{4}{\left(e^x-e^{-x}\right)}^2$

$\text{ =}\frac{1}{4}\left(e^{2x}+2e^x\cdot e^{-x}+e^{-2x}\right)-\frac{1}{4}\left(e^{2x}-2e^x\cdot e^{-x}+e^{-2x}\right)$

$\text{ =}\frac{1}{4}{e}^{2x}+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}{e}^{-2x}-\frac{1}{4}{e}^{2x}+\frac{1}{2}-\frac{1}{4}{e}^{-2x}=1$.

Do đó, (cosh x)² – (sinh x)² = 1 với mọi x.

Lời giải Sách bài tập Toán 11 Bài 20: Hàm số mũ và hàm số lôgarit hay khác:

• Bài 6.21 trang 14 SBT Toán 11 Tập 2: Vẽ đồ thị của các hàm số mũ sau: ....

• Bài 6.22 trang 14 SBT Toán 11 Tập 2: Vẽ đồ thị của các hàm số lôgarit sau: ....

• Bài 6.23 trang 14 SBT Toán 11 Tập 2: Cho hàm số mũ f(x) = a^x (a > 0). Chứng minh rằng: ....

• Bài 6.24 trang 14 SBT Toán 11 Tập 2: Tìm tập xác định của các hàm số sau: ....

• Bài 6.25 trang 14 SBT Toán 11 Tập 2: Cho hàm số lôgarit f(x) = loga của x ....

• Bài 6.27 trang 15 SBT Toán 11 Tập 2: Nếu một ô kính ngăn khoảng 3% ánh sáng truyền qua nó ....

• Bài 6.28 trang 15 SBT Toán 11 Tập 2: Số tiền ban đầu 120 triệu đồng được gửi tiết kiệm với lãi suất năm không đổi ....

• Bài 6.29 trang 15 SBT Toán 11 Tập 2: Chu kì bán rã của đồng vị phóng xạ Radi 226 là khoảng 1 600 năm ....

• Bài 6.30 trang 15 SBT Toán 11 Tập 2: Trong Vật lí, mức cường độ âm (tính bằng deciben, kí hiệu là dB) ....

Xem thêm các bài giải sách bài tập Toán lớp 11 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

• SBT Toán 11 Bài 21: Phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit

• SBT Toán 11 Bài tập cuối chương 6

• SBT Toán 11 Bài 22: Hai đường thẳng vuông góc

• SBT Toán 11 Bài 23: Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

• SBT Toán 11 Bài 24: Phép chiếu vuông góc. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 11 hay khác:

• Giải sgk Toán 11 Kết nối tri thức
• Giải Chuyên đề học tập Toán 11 Kết nối tri thức
• Giải SBT Toán 11 Kết nối tri thức

---