Cho a, b là hai số dương khác nhau thoả mãn điều kiện a - b = (√1-b^2) - (√1-a^2). Chứng minh rằng a^2 + b^2 = 1

Giải sách bài tập Toán 9 Bài 8: Khai căn bậc hai với phép nhân và phép chia - Kết nối tri thức

Bài 3.14 trang 34 sách bài tập Toán 9 Tập 1: Cho a, b là hai số dương khác nhau thoả mãn điều kiện $a-b=\sqrt{1-b^2}-\sqrt{1-a^2}$. Chứng minh rằng a² + b² = 1

Lời giải:

Ta có:

$a-b=\sqrt{1-b^2}-\sqrt{1-a^2}$

$a+\sqrt{1-a^2}=b+\sqrt{1-b^2}$

${\left(a+\sqrt{1-a^2}\right)}^2={\left(b+\sqrt{1-b^2}\right)}^2$

$a^2+2.a.\sqrt{1-a^2}+{\left(\sqrt{1-a^2}\right)}^2=b^2+2.b.\sqrt{1-b^2}+{\left(\sqrt{1-b^2}\right)}^2$

$a^2+2a\sqrt{1-a^2}+1-a^2=b^2+2b\sqrt{1-b^2}+1-b^2$

$2a\sqrt{1-a^2}=2b\sqrt{1-b^2}$

$a\sqrt{1-a^2}=b\sqrt{1-b^2}$

${\left(a\sqrt{1-a^2}\right)}^2={\left(b\sqrt{1-b^2}\right)}^2$

$a^2\left(1-a^2\right)=b^2\left(1-b^2\right)$

$a^2-a^4=b^2-b^4$

$a^4-b^4-\left(a^2-b^2\right)=0$

$\left(a^2-b^2\right)\left(a^2+b^2\right)-\left(a^2-b^2\right)=0$

$\left(a^2-b^2\right)\left(a^2+b^2-1\right)=0$

Theo đề bài, a và b là hai số khác nhau nên a² – b² ≠ 0, nên để $\left(a^2-b^2\right)\left(a^2+b^2-1\right)=0$ thì a² + b² – 1 = 0 hay a² + b² = 1. (đpcm)

Lời giải SBT Toán 9 Bài 8: Khai căn bậc hai với phép nhân và phép chia hay khác:

• Bài 3.8 trang 34 sách bài tập Toán 9 Tập 1: So sánh: $\sqrt{5}.\sqrt{11}$ và $\sqrt{56}$; $\frac{\sqrt{141}}{\sqrt{3}}$ và 7 ...

• Bài 3.9 trang 34 sách bài tập Toán 9 Tập 1: Không dùng MTCT, tính giá trị của các biểu thức sau: $\sqrt{1\frac{2}{3}}:\sqrt{\frac{1}{15}}$...

• Bài 3.10 trang 34 sách bài tập Toán 9 Tập 1: Không dùng MTCT, chứng minh rằng các biểu thức sau có giá trị là số nguyên: ...

• Bài 3.11 trang 34 sách bài tập Toán 9 Tập 1: Không dùng MTCT, hãy tính giá trị của biểu thức sau: $P=\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}.\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2}}}.\sqrt{4+\sqrt{8}}$ ...

• Bài 3.12 trang 34 sách bài tập Toán 9 Tập 1: Rút gọn biểu thức $P=\frac{3\sqrt{10}+\sqrt{20}-3\sqrt{6}-\sqrt{12}}{\sqrt{5}-\sqrt{3}}.$ ...

• Bài 3.13 trang 34 sách bài tập Toán 9 Tập 1: So sánh $\sqrt{\sqrt{6+\sqrt{20}}}$ và $\sqrt{\sqrt{6}+1}$ ...

Xem thêm giải sách bài tập Toán lớp 9 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

• SBT Toán 9 Bài 9: Biến đổi đơn giản và rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai

• SBT Toán 9 Bài 10: Căn bậc ba và căn thức bậc ba

• SBT Toán 9 Bài tập cuối chương 3

• SBT Toán 9 Bài 11: Tỉ số lượng giác của góc nhọn

• SBT Toán 9 Bài 12: Một số hệ thức giữa cạnh, góc trong tam giác vuông và ứng dụng

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 9 hay khác:

• Giải sgk Toán 9 Kết nối tri thức
• Giải SBT Toán 9 Kết nối tri thức

• Hơn 20.000 câu trắc nghiệm Toán,Văn, Anh lớp 9 có đáp án

Loạt bài Giải SBT Toán 9 Kết nối tri thức của chúng tôi được biên soạn bám sát nội dung sgk Toán 9 Tập 1 & Tập 2 (NXB Giáo dục).

---