Cho tam giác nhọn ABC (AB nhỏ hơn AC) có các đường cao AD, BE, CF. Cho EF cắt BC tại K. Chứng minh rằng

Giải sách bài tập Toán 9 Bài tập cuối chương 9 - Kết nối tri thức

Bài 9.52 trang 62 sách bài tập Toán 9 Tập 2: Cho tam giác nhọn ABC (AB < AC) có các đường cao AD, BE, CF. Cho EF cắt BC tại K. Chứng minh rằng:

a) KB . KC = KE . KF; 

b) $\frac{KB}{KC}=\frac{DB}{DC}$

Lời giải:

a) Do $\widehat{BFC}=\widehat{BEC}=90°$ nên tứ giác BFEC nội tiếp đường tròn đường kính BC.

Tương tự, tứ giác AFDC nội tiếp đường tròn đường kính AC, tứ giác AEBD nội tiếp đường tròn đường kính AB.

Vì tổng các góc đối nhau của tứ giác nội tiếp BFCE bằng 180° nên $\widehat{KFB}=180°-\widehat{BFE}=\widehat{BCE}$

Xét ∆KFC và ∆KCE có:

$\widehat{KFB}=\widehat{BCE}=\widehat{KCE}$

$\widehat{FKB}=\widehat{CKE}$ (góc chung)

Suy ra ∆KFB ᔕ ∆KCE (g.g).

Do đó $\frac{KF}{KC}=\frac{KB}{KE}$ hay KB . KC = KE . KF (đpcm).

b) Xét hai tam giác KEB và KCF có:

$\widehat{KEB}=\widehat{KCF}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung $\stackrel{⏜}{BF}$ của đường tròn đường kính BC)

$\widehat{EKB}=\widehat{CKF}$(góc chung)

Suy ra ∆KEB ᔕ ∆KCF (g.g).

Do đó $\frac{KE}{KC}=\frac{EB}{CF}$

Mà $\frac{KB}{KE}=\frac{FB}{CE}$ (vì ∆KFB ᔕ ∆KCE) nên $\frac{KB}{KC}=\frac{KB}{KE}.\frac{KE}{KC}=\frac{BF}{CF}.\frac{BE}{CE}$. (1)

Tương tự, hai tam giác BDF và BAC có:

$\widehat{BDF}=180°-\widehat{FDC}=\widehat{BAC}$

$\widehat{DBF}=\widehat{ABC}$ (góc chung)

Suy ra ∆BDF ᔕ ∆BAC (g.g).

Do đó $\frac{DB}{AB}=\frac{BF}{BC}$

Tương tự, suy ra $\frac{DC}{AC}=\frac{CE}{BC}$

Do đó $\frac{DB}{DC}=\frac{BF}{CE}.\frac{AB}{AC}$. (2)

Mà ∆BDF ᔕ ∆BAC (g.g) do đây là hai tam giác vuông có chung góc nhọn A nên $\frac{AB}{AC}=\frac{BE}{CF}$. (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra $\frac{KB}{KC}=\frac{DB}{DC}$.(đpcm)

Lời giải SBT Toán 9 Bài tập cuối chương 9 hay khác:

• Bài 1 trang 61 sách bài tập Toán 9 Tập 2: Cho tứ giác ABCD nội tiếp một đường tròn với $\widehat{A}= 70°, \widehat{B}= 100°$. Khẳng định nào dưới đây là đúng? ...

• Bài 2 trang 61 sách bài tập Toán 9 Tập 2: Xét trong một đường tròn, khẳng định nào dưới đây là không đúng? ...

• Bài 3 trang 61 sách bài tập Toán 9 Tập 2: Cho hình chữ nhật ABCD nội tiếp (O) với AB = 4 cm, BC = 3 cm. Đường tròn (O) có bán kính là ...

• Bài 9.44 trang 61 sách bài tập Toán 9 Tập 2: Xét trong một đường tròn, những câu nào dưới đây là đúng? ...

• Bài 9.45 trang 61 sách bài tập Toán 9 Tập 2: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). Tính số đo của các góc $\widehat{BOC}, \widehat{COA}, \widehat{AOB}$, biết rằng $\widehat{A}=60°, \widehat{B}=70°$ ...

• Bài 9.46 trang 61 sách bài tập Toán 9 Tập 2: Cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn (I). Đường tròn (I) tiếp xúc các cạnh BC, CA, AB tại D, E, F. Chứng tỏ rằng IEAF, IFBD, IDCE là các tứ giác nội tiếp. ...

• Bài 9.47 trang 61 sách bài tập Toán 9 Tập 2: Cho tam giác đều ABC nội tiếp một đường tròn bán kính 4 cm. Hãy tính độ dài mỗi cạnh và bán kính đường tròn nội tiếp của tam giác ABC. ...

• Bài 9.48 trang 62 sách bài tập Toán 9 Tập 2: Tính diện tích tam giác vuông cân, nội tiếp đường tròn bán kính 4 cm. ...

• Bài 9.49 trang 62 sách bài tập Toán 9 Tập 2: Cho tam giác ABC vuông tại A có diện tích là 24 cm và nội tiếp đường tròn có bán kính 5 cm. Tính bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC. ...

• Bài 9.50 trang 62 sách bài tập Toán 9 Tập 2: Hãy cho biết số đo các góc còn lại của tứ giác nội tiếp ABCD trong mỗi trường hợp sau: ...

• Bài 9.51 trang 62 sách bài tập Toán 9 Tập 2: Cho tam giác nhọn ABC có đường cao AH. Các điểm M và N lần lượt là hình chiếu vuông góc của H trên AB, AC. Chứng minh rằng AM . AB = AN . AC. ...

• Bài 9.53 trang 62 sách bài tập Toán 9 Tập 2: Cho một lục giác đều và một tam giác đều cùng nội tiếp một đường tròn. Biết rằng tam giác đều có cạnh bằng 3 cm ...

• Bài 9.54 trang 62 sách bài tập Toán 9 Tập 2: Cho đa giác đều ϰ có 12 cạnh, nội tiếp một đường tròn (O). Kẻ các đoạn thẳng nối O với các đỉnh của ϰ và thu được 12 góc nhọn tại đỉnh O ...

Xem thêm giải sách bài tập Toán lớp 9 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

• SBT Toán 9 Bài 29: Tứ giác nội tiếp

• SBT Toán 9 Bài 30: Đa giác đều

• SBT Toán 9 Bài 31: Hình trụ và hình nón

• SBT Toán 9 Bài 32: Hình cầu

• SBT Toán 9 Bài tập cuối chương 10

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 9 hay khác:

• Giải sgk Toán 9 Kết nối tri thức
• Giải SBT Toán 9 Kết nối tri thức
• Giải lớp 9 Kết nối tri thức (các môn học)
• Giải lớp 9 Chân trời sáng tạo (các môn học)
• Giải lớp 9 Cánh diều (các môn học)

• Hơn 20.000 câu trắc nghiệm Toán,Văn, Anh lớp 9 có đáp án

---