Bài 4 trang 15 Toán 11 Tập 1 Cánh diều

Giải Toán 11 Bài 1: Góc lượng giác. Giá trị lượng giác của góc lượng giác - Cánh diều

Bài 4 trang 15 Toán 11 Tập 1: Tính các giá trị lượng giác của góc α trong mỗi trường hợp sau:

a) $\sin \alpha =\frac{\sqrt{15}}{4}$với $\frac{\pi }{2}<\alpha <\pi$;

b) $cos\alpha =-\frac{2}{3}$ với $-\pi <\alpha <0$ ;

c) tanα = 3 với ‒π < α < 0;

d) cotα = ‒2 với 0 < α < π.

Lời giải:

a) Do $\frac{\pi }{2}<\alpha <\pi$ nên cosα < 0.

Áp dụng công thức sin²α + cos²α = 1, ta có:

${\left(\frac{\sqrt{15}}{4}\right)}^2+co{s}^2\alpha =1$

$\Rightarrow co{s}^2\alpha =1-{\left(\frac{\sqrt{15}}{4}\right)}^2=1-\frac{15}{16}=\frac{1}{16}$

$\Rightarrow cos\alpha =-\frac{1}{4}$ (do cosα < 0).

Ta có: $\tan \alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=\frac{\frac{\sqrt{15}}{4}}{-\frac{1}{4}}=-\sqrt{15}$ ;

$\cot \alpha =\frac{1}{\tan \alpha }=\frac{1}{-\sqrt{15}}=-\frac{\sqrt{15}}{15}$ .

Vậy $cos\alpha =-\frac{1}{4}$ ; $\tan \alpha =-\sqrt{15}$ và $\cot \alpha =-\frac{\sqrt{15}}{15}$.

b) Do ‒π < α < 0 nên sinα < 0.

Áp dụng công thức sin²α + cos²α = 1, ta có:

${\sin }^2\alpha +{\left(-\frac{2}{3}\right)}^2=1$

$\Rightarrow {\sin }^2\alpha =1-{\left(-\frac{2}{3}\right)}^2=1-\frac{4}{9}=\frac{5}{9}$.

$\Rightarrow \sin \alpha =-\frac{\sqrt{5}}{3}$ (do sinα < 0).

Ta có: tanα = $\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=\frac{-\frac{\sqrt{5}}{3}}{-\frac{2}{3}} = \frac{\sqrt{5}}{2}$;

            cotα = $\frac{1}{\tan \alpha }=\frac{1}{\frac{\sqrt{5}}{2}}=\frac{2}{\sqrt{5}}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$.

Vậy $\sin \alpha =-\frac{\sqrt{5}}{3}$; $\tan \alpha =\frac{\sqrt{5}}{2}$ và $\cot \alpha =\frac{2\sqrt{5}}{5}$.

c) Do ‒π < α < 0 nên sinα < 0 và cosα > 0 khi khi $-\frac{\pi }{2}\le \alpha <0$, cosα < 0 khi $-\pi <\alpha <-\frac{\pi }{2}$.

Mà tanα = 3 > 0, do đó $\tan \alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }>0$, từ đó suy ra cosα < 0.

Áp dụng công thức tanα.cotα = 1, ta có $\cot \alpha =\frac{1}{\tan \alpha }=\frac{1}{3}$.

Áp dụng công thức $1+{\tan }^2\alpha =\frac{1}{{\cos }^2\alpha }$, ta có

$1+3^2=\frac{1}{{\cos }^2\alpha }$ hay$\frac{1}{{\cos }^2\alpha }=10$

=> $\Rightarrow {\cos }^2\alpha =\frac{1}{10}$ => $\cos \alpha =-\frac{\sqrt{10}}{10}$ (do cosα < 0).

Áp dụng công thức $1+{\cot }^2\alpha =\frac{1}{{\sin }^2\alpha }$ , ta có:

$1+{\left(\frac{1}{3}\right)}^2=\frac{1}{{\sin }^2\alpha }$hay $\frac{1}{{\sin }^2\alpha }=\frac{10}{9}$

$\Rightarrow {\sin }^2\alpha =\frac{9}{10}\Rightarrow \sin \alpha =-\frac{3}{\sqrt{10}}=-\frac{3\sqrt{10}}{10}$ (do sinα < 0).

Vậy $\sin \alpha =\frac{3\sqrt{10}}{10}$; $\cos \alpha =-\frac{\sqrt{10}}{10}$; $\cot \alpha =\frac{1}{3}$.

d) cotα = ‒2 với 0 < α < π.

Áp dụng công thức tanα.cotα = 1, ta có $\tan \alpha =\frac{1}{\cot \alpha }=\frac{1}{-2}=-\frac{1}{2}$.

Do 0 < α < π nên sinα > 0.

Mà cotα = ‒2 < 0 nên $\cot \alpha =\frac{\cos \alpha }{\sin \alpha }<0$, suy ra cosα < 0.

Áp dụng công thức $1+{\cot }^2\alpha =\frac{1}{{\sin }^2\alpha }$, ta có:

1 + (-2)² = $\frac{1}{{\sin }^2\alpha }$ hay $\frac{1}{{\sin }^2\alpha }$ = 5

=> ${\sin }^2\alpha =\frac{1}{5}$ => $\sin \alpha =\frac{1}{\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{5}$ (do sinα > 0).

Ta có: $\cot \alpha =\frac{\cos \alpha }{\sin \alpha }$ => $\cos \alpha =\cot \alpha .\sin \alpha$ = $\left(-2\right).\frac{\sqrt{5}}{5}=-\frac{2\sqrt{5}}{5}$

Lời giải bài tập Toán 11 Bài 1: Góc lượng giác. Giá trị lượng giác của góc lượng giác hay, chi tiết khác:

• Câu hỏi khởi động trang 5 Toán 11 Tập 1: Trên mặt chiếc đồng hồ, kim giây đang ở vị trí ban đầu chỉ vào số 3 (Hình 1) ....

• Hoạt động 1 trang 5 Toán 11 Tập 1: Nêu định nghĩa góc trong hình học phẳng ....

• Luyện tập 1 trang 6 Toán 11 Tập 1: Hãy hoàn thành bảng chuyển đổi số đo độ và số đo radian của một số góc sau ....

• Hoạt động 2 trang 6 Toán 11 Tập 1: So sánh chiều quay của kim đồng hồ với: a) Chiều quay từ tia Om ....

• Luyện tập 2 trang 7 Toán 11 Tập 1: Đọc tên góc lượng giác,tia đầu và tia cuối của góc lượng giác ....

• Hoạt động 3 trang 7 Toán 11 Tập 1: a) Trong Hình 5a, tia Om quay theo chiều dương đúng một vòng ....

• Luyện tập 3 trang 8 Toán 11 Tập 1: Hãy biểu diễn trên mặt phẳng góc lượng giác gốc O có tia đầu Ou ....

• Hoạt động 4 trang 8 Toán 11 Tập 1: Trong Hình 7a, ba góc lượng giác có cùng tia đầu Ou và tia cuối Ov, trong đó Ou ⊥ Ov ....

• Luyện tập 4 trang 9 Toán 11 Tập 1: Viết công thức biểu thị số đo của các góc lượng giác có cùng tia đầu, tia cuối với góc lượng giác ....

• Hoạt động 5 trang 9 Toán 11 Tập 1: Cho góc (hình học) xOz, tia Oy nằm trong góc xOz (Hình 8) ....

• Luyện tập 5 trang 9 Toán 11 Tập 1: Cho góc lượng giác (Ou, Ov) có số đo là $-\frac{11\pi }{4}$ ....

• Hoạt động 6 trang 10 Toán 11 Tập 1: a) Trong mặt phẳng toạ độ (định hướng) Oxy, hãy vẽ đường tròn tâm O ....

• Luyện tập 6 trang 10 Toán 11 Tập 1: Xác định điểm N trên đường tròn lượng giác sao cho (OA, ON) = $-\frac{\pi }{3}$ ....

• Hoạt động 7 trang 10 Toán 11 Tập 1: a) Xác định điểm M trên đường tròn lượng giác sao cho (OA, OM) = 60° ....

• Luyện tập 7 trang 11 Toán 11 Tập 1: Tìm giá trị lượng giác của góc lượng giác $\beta =-\frac{\pi }{4}$ ....

• Hoạt động 8 trang 11 Toán 11 Tập 1: Xét dấu các giá trị lượng giác của góc lượng giác α = ‒30° ....

• Luyện tập 8 trang 11 Toán 11 Tập 1: Xét dấu các giá trị lượng giác của góc lượng giác$\alpha =\frac{5\pi }{6}$ ....

• Hoạt động 9 trang 11 Toán 11 Tập 1: Cho góc lượng giác α. So sánh: a) cos²α + sin²α và 1 ....

• Luyện tập 9 trang 12 Toán 11 Tập 1: Cho góc lượng giác α sao cho $\pi <\alpha <\frac{3\pi }{2}$ và $\sin \alpha =-\frac{4}{5}$ ....

• Hoạt động 10 trang 12 Toán 11 Tập 1: Tìm các giá trị lượng giác của góc lượng giác α = $\frac{\pi }{4}$ ....

• Luyện tập 10 trang 12 Toán 11 Tập 1: Tính giá trị của biểu thức: $Q={\tan }^2\frac{\pi }{3}+{\sin }^2\frac{\pi }{4}+\cot \frac{\pi }{4}+cos\frac{\pi }{2}$ ....

• Hoạt động 11 trang 13 Toán 11 Tập 1: Trên đường tròn lượng giác, cho hai điểm M, M’ sao cho góc lượng giác (OA, OM) = α ....

• Luyện tập 11 trang 14 Toán 11 Tập 1: Tính: a)$co{s}^2\frac{\pi }{8}+co{s}^2\frac{3\pi }{8}$ ....

• Luyện tập 12 trang 14 Toán 11 Tập 1: Dùng máy tính cầm tay để tính: a) tan(‒75°) ....

• Bài 1 trang 15 Toán 11 Tập 1: Xác định vị trí các điểm M, N, P trên đường tròn lượng giác ....

• Bài 2 trang 15 Toán 11 Tập 1: Tính các giá trị lượng giác của mỗi góc sau: 225°; ‒225°; ‒1 035°; ....

• Bài 3 trang 15 Toán 11 Tập 1: Tính các giá trị lượng giác (nếu có) của mỗi góc sau: a) $\frac{\pi }{3}+k2\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$ ....

• Bài 5 trang 15 Toán 11 Tập 1: Cho α + β = π. Tính: a) A = sin²α + cos²β; ....

• Bài 6 trang 15 Toán 11 Tập 1: Một vệ tinh được định vị tại vị trí A trong không gian ....

Các bài học để học tốt Toán 11 Bài 1: Góc lượng giác. Giá trị lượng giác của góc lượng giác:

• Giải SBT Toán 11 Bài 1: Góc lượng giác. Giá trị lượng giác của góc lượng giác

  Xem lời giải

• Lý thuyết Toán 11 Bài 1: Góc lượng giác. Giá trị lượng giác của góc lượng giác

  Xem chi tiết

• Trắc nghiệm Toán 11 Bài 1: Góc lượng giác. Giá trị lượng giác của góc lượng giác

  Xem chi tiết

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 11 Cánh diều hay, chi tiết khác:

• Toán 11 Bài 2: Các phép biến đổi lượng giác

• Toán 11 Bài 3: Hàm số lượng giác và đồ thị

• Toán 11 Bài 4: Phương trình lượng giác cơ bản

• Toán 11 Bài tập cuối chương 1

• Toán 11 Bài 1: Dãy số

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 11 hay khác:

• Giải sgk Toán 11 Cánh diều
• Giải Chuyên đề học tập Toán 11 Cánh diều
• Giải SBT Toán 11 Cánh diều
• Giải lớp 11 Cánh diều (các môn học)
• Giải lớp 11 Kết nối tri thức (các môn học)
• Giải lớp 11 Chân trời sáng tạo (các môn học)

---