Giải Toán 11 trang 63 Tập 2 Cánh diều

Với Giải Toán 11 trang 63 Tập 2 trong Toán 11 Bài 1: Định nghĩa đạo hàm. Ý nghĩa hình học của đạo hàm Toán 11 Cánh diều hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh lớp 11 dễ dàng làm bài tập Toán 11 trang 63.

Giải Toán 11 trang Tập 2 Cánh diều

Luyện tập 3 trang 63 Toán 11 Tập 2: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y=\frac{1}{x}$tại điểm N(1;1)

Lời giải:

Tiếp tuyến của đồ thị tại điểm có hoành độ bằng 1 có hệ số góc là:

    $f^{\text{'}}\left(1\right)=\underset{x\to 1}{\lim }\frac{f\left(x\right)-f\left(1\right)}{x-1}=\underset{x\to 1}{\lim }\frac{\frac{1}{x}-\frac{1}{1}}{x-1}=\underset{x\to 1}{\lim }\frac{\frac{1}{x}-1}{x-1}$

        $=\underset{x\to 1}{\lim }\frac{1-x}{x\left(x-1\right)}=\underset{x\to 1}{\lim }\frac{-1}{x}=\frac{-1}{1}=-1.$

   

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm N(1; 1) là:

y = –1(x – 1) + 1 hay y = –x + 2

Bài 1 trang 63 Toán 11 Tập 2 :Tính đạo hàm của hàm số f(x) = 3x³ – 1 tại điểm x₀ = 1 bằng định nghĩa:

Lời giải:

Xét ∆x là số gia của biến số tại điểm x₀ = 1.

Ta có ∆y = f(1 + ∆x) – f(1) = 3(1 + ∆x)³ – 1 – (3.1³ – 1)

              = 3 + 9∆x + 9.(∆x)² + 3(∆x)³ – 1 – 2

              = 9∆x + 9.(∆x)² + 3(∆x)³

              = ∆x[9 + 9∆x + 3(∆x)²].

Suy ra: $\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{\Delta x\left[9+9\Delta x+3{\left(\Delta x\right)}^2\right]}{\Delta x}=9+9\Delta x+3{\left(\Delta x\right)}^2.$

⦁ Ta thấy: $\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\Delta y}{\Delta x}=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\left[9+9\Delta x+3{\left(\Delta x\right)}^2\right]=9+9\cdot 0+3\cdot 0^2=9.$

Bài 2 trang 63 Toán 11 Tập 2 :Chứng minh rằng hàm số f(x) = |x| không có đạo hàm tại điểm x₀ = 0, nhưng có đạo hàm tại mọi điểm x ≠ 0

Lời giải:

Xét ∆x là số gia của biến số tại điểm x₀ = 0.

Ta có ∆y = f(0 + ∆x) – f(0) = |∆x| – |0| = |∆x|.

Suy ra $\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{\left|\Delta x\right|}{\Delta x}.$

Ta thấy $\underset{\Delta x\to 0^{+}}{\lim }\frac{\Delta y}{\Delta x}=\underset{\Delta x\to 0^{+}}{\lim }\frac{\left|\Delta x\right|}{\Delta x}=\underset{\Delta x\to 0^{+}}{\lim }\frac{\Delta x}{\Delta x}=\underset{\Delta x\to 0^{+}}{\lim }1=1$

            $\underset{\Delta x\to 0^{-}}{\lim }\frac{\Delta y}{\Delta x}=\underset{\Delta x\to 0^{-}}{\lim }\frac{\left|\Delta x\right|}{\Delta x}=\underset{\Delta x\to 0^{-}}{\lim }\frac{-\Delta x}{\Delta x}=\underset{\Delta x\to 0^{-}}{\lim }\left(-1\right)=-1$

Do đó $\underset{\Delta x\to 0^{+}}{\lim }\frac{\Delta y}{\Delta x}\ne \underset{\Delta x\to 0^{-}}{\lim }\frac{\Delta y}{\Delta x}$ nên không tồn tại $\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\Delta y}{\Delta x}$

Vậy hàm số f(x) = |x| không có đạo hàm tại điểm x₀ = 0.

Ta có hàm số $f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{l}xkhix>0\\ 0khix=0\\ -xkhix<0\end{array}\right.$

⦁ Với x > 0 ta có hàm số f(x) = x.

Xét ∆x là số gia của biến số tại điểm x > 0.

Ta có ∆y = f(x + ∆x) – f(x) = (x + ∆x) – x = ∆x.

Suy ra $\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{\Delta x}{\Delta x}=1$

Ta thấy $\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\Delta y}{\Delta x}=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }1=1$

Do đó với x > 0 thì hàm số có đạo hàm f’(x) = 1.

⦁ Với x < 0 ta có hàm số f(x) = –x.

Xét ∆x là số gia của biến số tại điểm x < 0.

Ta có ∆y = f(x + ∆x) – f(x) = – (x + ∆x) + x = –∆x.

Suy ra $\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{–\Delta x}{\Delta x}=-1$

Ta thấy $\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\Delta y}{\Delta x}=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\left(-1\right)=-1$

Do đó với x < 0 thì hàm số có đạo hàm f’(x) = –1.

Vậy hàm số f(x) = |x| không có đạo hàm tại x₀ = 0, nhưng có đạo hàm tại mọi điểm x ≠ 0.

Bài 3 trang 63 Toán 11 Tập 2 :Cho hàm y = –2x² + x có đồ thị (C).

a) Xác định hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có hoành độ bằng 2.

b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm M(2; – 6)

Lời giải:

a) Tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có hoành độ bằng 2 có hệ số góc là:

$f^{\text{'}}\left(2\right)=\underset{x\to 2}{\lim }\frac{f\left(x\right)-f\left(2\right)}{x-2}=\underset{x\to 2}{\lim }\frac{-2x^2+x-\left(-2\cdot 2^2+2\right)}{x-2}$

$=\underset{x\to 2}{\lim }\frac{-2x^2+x+6}{x-2}=\underset{x\to 2}{\lim }\frac{-\left(x-2\right)\left(2x+3\right)}{x-2}$

$=\underset{x\to 2}{\lim }\left[-\left(2x+3\right)\right]=-\left(2\cdot 2+3\right)=-7.$

Vậy hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có hoành độ bằng 2 là f’(x) = –7.

b) Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm M(2; – 6) là:

y = –7(x – 2) – 6 hay y = –7x + 8.

Bài 4 trang 63 Toán 11 Tập 2 :Giả sử chi phí C (USD) để sản xuất Q máy vô tuyến là C(Q) = Q² + 80Q + 3 500.

a) Ta gọi chi phí biên là chi phí gia tăng để sản xuất thêm 1 sản phẩm từ Q sản phẩm lên Q + 1 sản phẩm. Giả sử chi phí biên được xác định bởi hàm số C’(Q). Tìm hàm chi phí biên.

b) Tìm C’(90) và giải thích ý nghĩa kết quả tìm được

Lời giải:

a) Xét ∆Q là số gia của biến số tại điểm Q.

Ta có ∆C = C(Q + ∆Q) – C(Q)

              = (Q + ∆Q)² + 80(Q + ∆Q) + 3 500 – Q² – 80Q – 3 500

              = (∆Q)² + 2Q. ∆Q + 80∆Q.

               = ∆Q(∆Q + 2Q + 80).

Suy ra $\frac{\Delta C}{\Delta Q}=\frac{\Delta Q\left(\Delta Q+2Q+80\right)}{\Delta Q}=\Delta Q+2Q+80$

Ta thấy $\underset{\Delta Q\to 0}{\lim }\frac{\Delta C}{\Delta Q}=\underset{\Delta Q\to 0}{\lim }\left(\Delta Q+2Q+80\right)=2Q+80$

Vậy hàm chi phí biên là: C’(Q) = 2Q + 80 (USD).

b) Ta có C’(90) = 2 . 90 + 80 = 260 (USD).

Ý nghĩa: Để sản xuất thêm 1 sản phẩm từ 90 lên 91 sản phẩm cần chi phí biên (chi phí gia tăng) là 260 (USD)

Lời giải bài tập Toán 11 Toán 11 Bài 1: Định nghĩa đạo hàm. Ý nghĩa hình học của đạo hàm hay khác:

• Giải Toán 11 trang 62

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 11 Cánh diều hay, chi tiết khác:

• Toán 11 Bài 2: Các quy tắc tính đạo hàm

• Toán 11 Bài 3: Đạo hàm cấp hai

• Toán 11 Bài tập cuối chương 7

• Toán 11 Bài 1: Hai đường thẳng vuông góc

• Toán 11 Bài 2: Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 11 hay khác:

• Giải sgk Toán 11 Cánh diều
• Giải Chuyên đề học tập Toán 11 Cánh diều
• Giải SBT Toán 11 Cánh diều
• Giải lớp 11 Cánh diều (các môn học)
• Giải lớp 11 Kết nối tri thức (các môn học)
• Giải lớp 11 Chân trời sáng tạo (các môn học)

---