Phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit lớp 11 (Lý thuyết Toán 11 Kết nối tri thức)

Với tóm tắt lý thuyết Toán 11 Bài 21: Phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit sách Kết nối tri thức hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh lớp 11 nắm vững kiến thức trọng tâm, ôn luyện để học tốt môn Toán 11.

Phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit lớp 11 (Lý thuyết Toán 11 Kết nối tri thức)

(199k) Xem Khóa học Toán 11 KNTT

Quảng cáo

Lý thuyết Phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit

1. Phương trình mũ

Phương trình mũ cơ bản có dạng  ax=b (với 0<a1 .

Nếu b > 0 thì phương trình có nghiệm duy nhất  x=logab .

Nếu b ≤ 0 thì phươg trình vô nghiệm.

Minh hoạ bằng đồ thị:

Phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit lớp 11 (Lý thuyết Toán 11 Kết nối tri thức)

Chú ý. Phương pháp giải phương trình mũ bằng cách đưa về cùng cơ số:

Nếu 0<a1  thì au=avu=v

Ví dụ 1. Giải các phương trình sau:

a) 9x2=243x+1                  b) 3x1=5

Quảng cáo

Hướng dẫn giải

Phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit lớp 11 (Lý thuyết Toán 11 Kết nối tri thức)

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất là  x = - 3

b) Lấy lôgarit cơ số 3 hai vế của phương trình 3x1=5 ta được x1=log35 , hay x=1+log35 .

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là x=1+log35

2. Phương trình lôgarit

Phương trình lôgarit cơ bản có dạng  logax=b   0<a1

Phương trình lôgarit cơ bản logax=b có nghiệm duy nhất x = ab

Minh hoạ bằng đồ thị:

Phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit lớp 11 (Lý thuyết Toán 11 Kết nối tri thức)

Chú ý. Phương pháp giải phương trình lôgarit bằng cách đưa về cùng cơ số:

Nếu u, v > 0 và 0<a1 thì  logau=logavu=v

Quảng cáo

Ví dụ 2. Giải các phương trình sau:

Phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit lớp 11 (Lý thuyết Toán 11 Kết nối tri thức)

Hướng dẫn giải

a) Điều kiện 3x – 5 > 0 và 2x + 1 > 0, tức là x>53

Phương trình đã cho trở thành 3x5=2x+1 , suy ra x = 6 (thỏa mãn điều kiện).

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là x = 6.

b) Điều kiện x + 1 > 0, tức là x > –1.

Phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit lớp 11 (Lý thuyết Toán 11 Kết nối tri thức)

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là x = 7.

3. Bất phương trình mũ

Bất phương trình mũ cơ bản có dạng  ax > b (hoặc  ) với a > 0, a ≠ 1.

Xét bất phương trình dạng ax > b  :

Nếu b ≤ 0 thì tập nghiệm của bất phương trình là 

Nếu b > 0 thì bất phương trình tương đương với ax>alogab

Quảng cáo

Với a > 1, nghiệm của bất phương trình là x>logab

Với 0 < a < 1, nghiệm của bất phương trình là x<logab

Chú ý:

a) Các bất phương trình mũ cơ bản còn lại được giải tương tự.

b) Nếu a > 1 thì  au>avu>v

Nếu 0 < a < 1 thì  au>avu<v

Ví dụ 3. Giải các bất phương trình sau:

a)  3x>1243              b)  233x732

Hướng dẫn giải

a)  3x>12433x>35x>5

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là (-5;+)

Phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit lớp 11 (Lý thuyết Toán 11 Kết nối tri thức)

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là 2;+

4. Bất phương trình lôgarit

Bất phương trình lôgarit cơ bản có dạng logax>b (hoặc  logaxb,logax<b,logaxb với a>0,a1

Xét bất phương trình dạng logax>b :

- Nếu a > 1 thì nghiệm của bất phương trình là x > ab

- Nếu 0 < a < 1 thì nghiệm của bất phương trình là  0 < x < ab

Chú ý

a) Các bất phương trình lôgarit cơ bản còn lại được giải tương tự.

b) Nếu a > 1 thì logau>logavu>v>0

Nếu 0 < a < 1 thì logau>logav0<u<v

Ví dụ 4. Giải các bất phương trình sau:

Phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit lớp 11 (Lý thuyết Toán 11 Kết nối tri thức)

Hướng dẫn giải

a) Điều kiện: x > 1.

Vì cơ số 10 > 1 nên bất phương trình trở thành x – 1 < 100, tức là x < 2.

Kết hợp với điều kiện, ta được nghiệm của bất phương trình đã cho là 1 < x < 2.

b) Điều kiện: x>12

Vì cơ số 0<15<1  nên bất phương trình trở thành 2x – 1 ≤ x + 3, từ đó tìm được x ≤ 4.

Kết hợp với điều kiện, ta được nghiệm của bất phương trình đã cho là 12<x4 .

Bài tập Phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit

Bài 1. Giải các phương trình sau:

Phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit lớp 11 (Lý thuyết Toán 11 Kết nối tri thức)

Hướng dẫn giải

Phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit lớp 11 (Lý thuyết Toán 11 Kết nối tri thức)

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất là x=43

Phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit lớp 11 (Lý thuyết Toán 11 Kết nối tri thức)

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất là x=1211

c) Điều kiện: x > 1.

Khi đó: Phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit lớp 11 (Lý thuyết Toán 11 Kết nối tri thức)

Giải phương trình trên ta được x = – 1 (không thỏa mãn) và x = 4 (thỏa mãn điều kiện).

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x = 4.

d) Phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit lớp 11 (Lý thuyết Toán 11 Kết nối tri thức)

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x = –1.

Bài 2. Giải các phương trình sau:

Phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit lớp 11 (Lý thuyết Toán 11 Kết nối tri thức)

Hướng dẫn giải

Phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit lớp 11 (Lý thuyết Toán 11 Kết nối tri thức)

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là x=log423

Phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit lớp 11 (Lý thuyết Toán 11 Kết nối tri thức)

Giải phương trình bậc hai này ta được hai nghiệm x= -1, x= -7 . Chỉ có nghiệm x= -1 thoả mãn điều kiện.

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là x= -1 .

Bài 3. Giải các bất phương trình sau:

Phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit lớp 11 (Lý thuyết Toán 11 Kết nối tri thức)

Hướng dẫn giải

Phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit lớp 11 (Lý thuyết Toán 11 Kết nối tri thức)

Bất phương trình đã cho có thể viết ở dạng: 3x2x32x .

Vì cơ số 3 > 1 nên bất phương trình trở thành x2x2x , hay x22 .

Giải bất phương trình này, ta được  2x2 .

Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là  2;2 .

Phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit lớp 11 (Lý thuyết Toán 11 Kết nối tri thức)

e)  log0,5x3+log0,5x21

Điều kiện: x > 3.

Khi đó, bất phương trình đã cho được viết lại thành  log0,5x3x2log0,52

Vì cơ số 0,5 < 1 nên bất phương trình trở thành (x – 3)(x – 2) ≤ 2, hay  x25x+40

Giải bất phương trình bậc hai này, ta được 1 ≤ x ≤ 4.

Kết hợp với điều kiện, ta được nghiệm của bất phương trình là 3 < x ≤ 4.

Phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit lớp 11 (Lý thuyết Toán 11 Kết nối tri thức)

Bài 4. Một người gửi ngân hàng 100 triệu đồng theo hình thức lãi kép có kì hạn là 12 tháng với lãi suất là 6%/ năm. Để có được số tiền cả gốc và lãi nhiều hơn 130 triệu đồng thì người đó phải gửi ít nhất bao nhiêu năm? Biết rằng lãi suất không thay đổi qua các năm và người đó không rút tiền ra trong suốt quá trình gửi.

Hướng dẫn giải

Gọi x là số năm người đó gửi tiền trong ngân hàng.

Số tiền cả gốc và lãi người đó có được sau x năm được tính bởi công thức:

 S=100·1,06x

Để có được số tiền cả gốc và lãi nhiều hơn 130 triệu đồng thì

Phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit lớp 11 (Lý thuyết Toán 11 Kết nối tri thức

Do kì hạn gửi là 12 tháng nên để rút được số tiền cả gốc và lãi nhiều hơn 130 triệu đồng thì người đó phải gửi ít nhất 5 năm.

Học tốt Phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit

Các bài học để học tốt Phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit Toán lớp 11 hay khác:

(199k) Xem Khóa học Toán 11 KNTT

Xem thêm tóm tắt lý thuyết Toán lớp 11 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 11 hay khác:

Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi online, Bài giảng....miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS.

Theo dõi chúng tôi miễn phí trên mạng xã hội facebook và youtube:

Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn.


Giải bài tập lớp 11 Kết nối tri thức khác