Bài 8 trang 81 Toán 12 Tập 1 Cánh diều

Giải Toán 12 Bài 3: Biểu thức toạ độ của các phép toán vectơ - Cánh diều

Bài 8 trang 81 Toán 12 Tập 1: Một vật có trọng lượng 300 N được treo bằng ba sợi dây cáp không dãn có chiều dài bằng nhau, mỗi dây cáp có một đầu được gắn tại một trong các điểm P(– 2; 0; 0), Q(1; $\sqrt{3}$ ; 0), R(1; $- \sqrt{3}$ ; 0) còn đầu kia gắn với vật tại điểm S(0; 0; $- 2 \sqrt{3}$ ) như Hình 38. Gọi $\vec{F_{1}}, \vec{F_{2}}, \vec{F_{3}}$ lần lượt là lực căng trên các sợi dây cáp RS, QS và PS. Tìm tọa độ của các lực $\vec{F_{1}}, \vec{F_{2}}, \vec{F_{3}}$ .

Bài 8 trang 81 Toán 12 Cánh diều Tập 1 | Giải Toán 12

Quảng cáo

Lời giải:

Theo giả thiết, ta có các điểm S(0; 0; $- 2 \sqrt{3}$ ), P(– 2; 0; 0), Q(1; $\sqrt{3}$ ; 0), R(1; $- \sqrt{3}$ ; 0).

Khi đó: $\vec{S P} = (- 2; 0; 2 \sqrt{3})$ , $\vec{S Q} = (1; \sqrt{3}; 2 \sqrt{3})$ , $\vec{S R} = (1; - \sqrt{3}; 2 \sqrt{3})$ .

Suy ra $|\vec{S P}| = |\vec{S Q}| = |\vec{S R}| = 4$ . Lại có $\vec{P Q} = (3; \sqrt{3}; 0)$ , $\vec{Q R} = (0; - 2 \sqrt{3}; 0)$ , $\vec{R P} = (- 3; \sqrt{3}; 0)$ , vì $|\vec{P Q}| = |\vec{Q R}| = |\vec{R P}| = 2 \sqrt{3}$ nên tam giác PQR đều.

Do đó, $|\vec{F_{1}}| = |\vec{F_{2}}| = |\vec{F_{3}}|$ . Vì vậy, tồn tại hằng số c ≠ 0 sao cho:

$\vec{F_{1}} = c \vec{S R} = (c; - \sqrt{3} c; 2 \sqrt{3} c)$ ,

$\vec{F_{2}} = c \vec{S Q} = (c; \sqrt{3} c; 2 \sqrt{3} c)$ ,

$\vec{F_{3}} = c \vec{S P} = (- 2 c; 0; 2 \sqrt{3} c)$ ,

Suy ra $\vec{F_{1}} + \vec{F_{2}} + \vec{F_{3}} = (0; 0; 6 \sqrt{3} c)$ .

Mặt khác, ta có: $\vec{F_{1}} + \vec{F_{2}} + \vec{F_{3}} = \vec{F}$ , trong đó $\vec{F} = (0; 0; - 300)$ là trọng lực của vật.

Suy ra $6 \sqrt{3} c = - 300$ , tức là $c = \frac{- 50 \sqrt{3}}{3}$ .

Vậy $\vec{F_{1}} = (\frac{- 50 \sqrt{3}}{3}; 50; - 100)$ , $\vec{F_{2}} = (\frac{- 50 \sqrt{3}}{3}; - 50; - 100)$ , $\vec{F_{3}} = (\frac{100 \sqrt{3}}{3}; 0; - 100)$ .