Bài 3 trang 83 Toán 12 Tập 1 Chân trời sáng tạo

Giải Toán 12 Bài 2: Phương sai và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm - Chân trời sáng tạo

Bài 3 trang 83 Toán 12 Tập 1: Tốc độ của 20 xe hơi khi đi qua một trạm kiểm tra tốc độ (đơn vị: km/h) được thống kê lại như sau:

42 43,4 43,4 46,5 46,7 46,8 47,5 47,7 48,1 48,4

50,8 52,1 52,7 53,9 54,8 55,6 57,5 59,6 60,3 61,1

a) Hãy tính khoảng biến thiên, khoảng tứ phân vị và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu trên.

b) Hãy lập bảng tần số ghép nhóm với nhóm đầu tiên là [42; 46) và độ dài mỗi nhóm bằng 4.

c) Hãy tính khoảng biến thiên, khoảng tứ phân vị và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm.

Lời giải:

a) Mẫu số liệu đã cho đã được xếp theo thứ tự không giảm.

Khoảng biến thiên của mẫu số liệu là:

R = 61,1 – 42 = 19,1 (km/h).

Cỡ mẫu n = 20.

Tứ phân vị thứ nhất là trung vị của mẫu số liệu:

42 43,4 43,4 46,5 46,7 46,8 47,5 47,7 48,1 48,4

Do đó, $Q_1=\frac{46,7+46,8}{2}=46,75$ .

Tứ phân vị thứ ba là trung vị của mẫu số liệu:

50,8 52,1 52,7 53,9 54,8 55,6 57,5 59,6 60,3 61,1

Do đó, $Q_3=\frac{54,8+55,6}{2}=55,2$.

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu là:

∆_Q = Q₃ – Q₁ = 55,2 – 46,75 = 8,45.

Số trung bình của mẫu số liệu là:

$\overline{x}=\frac{42+43,4+43,4+46,5+\mathrm{...}+60,3+61,1}{20}=50,945$.

Phương sai của mẫu số liệu là:

S² = $\frac{1}{20}$ [42² + (43,4)² + (43,4)² + … + (60,3)² + (61,1)²] – (50,945)² ≈ 32,2.

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu là:

$S=\sqrt{S^2}\approx \sqrt{32,2}\approx 5,675$.

b) Ta lập được bảng tần số ghép nhóm như sau:

Tốc độ (km/h)	[42; 46)	[46; 50)	[50; 54)	[54; 58)	[58; 62)
Số xe	3	7	4	3	3

c) Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm là:

R' =62 – 42 = 20 (km/h).

Gọi x₁; x₂; …; x₂₀ là mẫu số liệu gốc về tốc độ của 20 xe hơi đi qua một trạm kiểm tra tốc độ được xếp theo thứ tự không giảm.

Ta có x₁; x₂; x₃ ∈ [42; 46), x₄; …; x₁₀ ∈ [46; 50), x₁₁; …; x₁₄ ∈ [50; 54),

   x₁₅; …; x₁₇ ∈ [54; 58), x₁₈; x₁₉; x₂₀ ∈ [58; 62).

Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gốc là $\frac{1}{2}\left(x_5+x_6\right)$ ∈ [46; 50).

Do đó, tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm là:

${Q^{\text{'}}}_1=46+\frac{\frac{20}{4}-3}{7}\cdot \left(50-46\right)=\frac{330}{7}$.

Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu gốc là $\frac{1}{2}\left(x_{15}+x_{16}\right)$ ∈ [54; 58).

Do đó, tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm là:

${Q^{\text{'}}}_3=54+\frac{\frac{3\cdot 20}{4}-\left(3+7+4\right)}{3}\cdot \left(58-54\right)=\frac{166}{3}$.

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là:

∆'_Q = Q'₃ – Q'₁ = $\frac{166}{3}-\frac{330}{7}=\frac{172}{21}$ ≈ 8,19.

Từ bảng tần số ghép nhóm, ta có bảng sau:

Tốc độ (km/h)	[42; 46)	[46; 50)	[50; 54)	[54; 58)	[58; 62)
Giá trị đại diện	44	48	52	56	60
Số xe	3	7	4	3	3

Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm là:

${\overline{x}}^{\text{'}}=\frac{3\cdot 44+7\cdot 48+4\cdot 52+3\cdot 56+3\cdot 60}{20}=51,2$.

Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm là:

S'² = $\frac{1}{20}$ (3 ∙ 44² + 7 ∙ 48² + 4 ∙ 52² + 3 ∙ 56² + 3 ∙ 60²) – (51,2)² = 26,56.

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm là:

$S^{\text{'}}=\sqrt{{S^{\text{'}}}^2}=\sqrt{26,56}=\frac{2\sqrt{166}}{5}\approx 5,154$.

Lời giải bài tập Toán 12 Bài 2: Phương sai và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm hay, chi tiết khác:

• Hoạt động khởi động trang 75 Toán 12 Tập 1: Có thể tính phương sai và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ở biểu đồ trên không? ....

• Hoạt động khám phá trang 75 Toán 12 Tập 1: a) Trong biểu đồ ở Hoạt động khởi động, cột thứ nhất biểu diễn số lượng học sinh ....

• Thực hành 1 trang 82 Toán 12 Tập 1: Hãy tính phương sai và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm ở Hoạt động khởi động (trang 75) ....

• Thực hành 2 trang 82 Toán 12 Tập 1: Mai và Ngọc cùng sử dụng vòng đeo tay thông minh để ghi lại số bước chân ....

• Bài 1 trang 82 Toán 12 Tập 1: Bảng dưới đây thống kê cự li ném tạ của một vận động viên ....

• Bài 2 trang 82 Toán 12 Tập 1: Kết quả khảo sát thời gian sử dụng liên tục (đơn vị: giờ) từ lúc sạc đầy ....

• Bài 4 trang 83 Toán 12 Tập 1: Một giống cây xoan đào được trồng tại hai địa điểm A và B ....

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 12 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

• Toán 12 Bài tập cuối chương 3

• Toán 12 Bài 1: Vẽ đồ thị hàm số bằng phần mềm Geogebra

• Toán 12 Bài 2: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng máy tính cầm tay

• Toán 12 Bài 1: Nguyên hàm

• Toán 12 Bài 2: Tích phân

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 12 hay khác:

• Giải sgk Toán 12 Chân trời sáng tạo
• Giải Chuyên đề học tập Toán 12 Chân trời sáng tạo
• Giải SBT Toán 12 Chân trời sáng tạo
• Giải lớp 12 Chân trời sáng tạo (các môn học)
• Giải lớp 12 Kết nối tri thức (các môn học)
• Giải lớp 12 Cánh diều (các môn học)

---