Quỹ đạo chuyển động của sao chổi Halley là một elip, nhận tâm Mặt Trời là một tiêu điểm

Giải Chuyên đề Toán 10 Bài 8: Sự thống nhất giữa ba đường conic

Bài 3.20 trang 60 Chuyên đề Toán 10: Quỹ đạo chuyển động của sao chổi Halley là một elip, nhận tâm Mặt Trời là một tiêu điểm, có tâm sai bằng 0,967.

a) Giải thích vì sao ta có thể coi bất kì hình vẽ elip nào với tâm sai bằng 0,967 là hình ảnh thu nhỏ của quỹ đạo sao chổi Halley.

b) Biết khoảng cách gần nhất từ sao chổi Halley đến tâm Mặt Trời là khoảng 88.10⁶ km, tính khoảng cách xa nhất (Theo: nssdc.gsfc. nasa.gov).

Lời giải:

a) Xét hai elip bất kì có cùng tâm sai:

(E₁): $\frac{x^2}{a_1^2}+\frac{y^2}{b_1^2}=1$ và (E₂): $\frac{x^2}{a_2^2}+\frac{y^2}{b_2^2}=1$ với e₁ = e_2­, tức là $\frac{c_1}{a_1}=\frac{c_2}{a_2}$

$\Rightarrow \frac{\sqrt{a_1^2+b_1^2}}{a_1}=\frac{\sqrt{a_2^2+b_2^2}}{a_2}\Rightarrow \frac{a_1^2+b_1^2}{a_1^2}=\frac{a_2^2+b_2^2}{a_2^2}$

$\Rightarrow \frac{b_1^2}{a_1^2}=\frac{b_2^2}{a_2^2}\Rightarrow \frac{b_1}{a_1}=\frac{b_2}{a_2}\Rightarrow \frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}.$

Xét phép vị tự tâm O tỉ số $\frac{a_2}{a_1}$. Khi đó:

Với mỗi điểm M(x; y) thuộc (E₁), ta có tương ứng điểm M'(x'; y') = $\left(\frac{a_2}{a_1}x;\frac{a_2}{a_1}y\right).$

Vì M(x; y) thuộc (E₁) nên $\frac{x^2}{a_1^2}+\frac{y^2}{b_1^2}=1$

$\Rightarrow \frac{a_2^2.\frac{x^2}{a_1^2}}{a_2^2}+\frac{b_2^2.\frac{y^2}{b_1^2}}{b_2^2}=1\Rightarrow \frac{{\left(\frac{a_2}{a_1}x\right)}^2}{a_2^2}+\frac{{\left(\frac{b_2}{b_1}y\right)}^2}{b_2^2}=1$

$\Rightarrow \frac{{\left(\frac{a_2}{a_1}x\right)}^2}{a_2^2}+\frac{{\left(\frac{a_2}{a_1}y\right)}^2}{b_2^2}=1$

⇒ M' thuộc (E₂).

Vậy phép vị tự tâm O tỉ số $\frac{a_2}{a_1}$ biến (E₁) thành (E₂).

Như vây, một elip có cùng tâm sai với một elip khác đều có thể coi là mô hình thu nhỏ của elip đó. Do đó ta có thể coi bất kì hình vẽ elip nào với tâm sai bằng 0,967 là hình ảnh thu nhỏ của quỹ đạo sao chổi Halley.

b) Chọn hệ trục toạ độ sao cho tâm Mặt Trời trùng với tiêu điểm F₁ của elip, đơn vị trên các trục là triệu kilômét.

Giả sử phương trình chính tắc của quỹ đạo elip này là $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ (a > b > 0).

Gọi toạ độ của sao chổi Halley là M(x; y).

Khoảng cách giữa sao chổi Halley và tâm Mặt Trời là MF₁.

MF₁ = a + $\frac{c}{a}$x, vì –a ≤ x ≤ a nên a – c ≤ MF₁ ≤ a + c

⇒ Khoảng cách gần nhất từ sao chổi Halley đến tâm Mặt Trời là a – c.

Theo đề bài, ta có:

– Khoảng cách gần nhất từ sao chổi Halley đến tâm Mặt Trời là khoảng 88.10⁶ km

⇒ a – c = 88.

– Elip có tâm sai bằng 0,967

⇒ $\frac{c}{a}=0,967\Rightarrow \frac{a}{1}=\frac{c}{0,967}=\frac{a-c}{1-0,967}=\frac{88}{1-0,967}=\frac{8000}{3}$

⇒ a = $\frac{8000}{3}$, c = $\frac{7736}{3}$.

⇒ Khoảng cách xa nhất từ sao chổi Halley đến tâm Mặt Trời là:

 a + c = $\frac{15736}{3}$ ≈ 5245,3 (triệu kilômét).

Vậy khoảng cách xa nhất từ sao chổi Halley đến tâm Mặt Trời là khoảng 5245,3.10⁶ kilômét.

Xem thêm lời giải bài tập Chuyên đề học tập Toán 10 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

• Luyện tập 1 trang 59 Chuyên đề Toán 10: Lập phương trình đường conic biết tâm sai bằng $\frac{2}{3}$ , một tiêu điểm F(–2; 0) và đường chuẩn tương ứng Δ: x + $\frac{9}{2}$ = 0....

• Vận dụng trang 59 Chuyên đề Toán 10: Hãy cho biết quỹ đạo của từng vật thể trong bảng sau đây là parabol, elip hay hypebol ....

• Bài 3.17 trang 60 Chuyên đề Toán 10: Viết phương trình các đường chuẩn của các đường conic sau: $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$; $\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{4}=1$ ....

• Bài 3.18 trang 60 Chuyên đề Toán 10: Cho hai elip $\left(E_1\right):\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$ và $\left(E_2\right):\frac{x^2}{100}+\frac{y^2}{64}=1$. Tìm mối quan hệ giữa hai tâm sai của các elip đó ....

• Bài 3.19 trang 60 Chuyên đề Toán 10: Viết phương trình của đường conic có tâm sai bằng 1, tiêu điểm F(2; 0) và đường chuẩn là Δ: x + 2 = 0 ....

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 10 hay khác:

• Giải Chuyên đề học tập Toán 10 Kết nối tri thức
• Giải Chuyên đề học tập Toán 10 Chân trời sáng tạo
• Giải Chuyên đề học tập Toán 10 Cánh diều
• Giải lớp 10 Kết nối tri thức (các môn học)
• Giải lớp 10 Chân trời sáng tạo (các môn học)
• Giải lớp 10 Cánh diều (các môn học)

---