Cho hai elip (E1): x^2/25 + y^2/16 = 1

Giải Chuyên đề Toán 10 Bài 8: Sự thống nhất giữa ba đường conic

Bài 3.18 trang 60 Chuyên đề Toán 10: Cho hai elip $\left(E_1\right):\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$ và $\left(E_2\right):\frac{x^2}{100}+\frac{y^2}{64}=1$.

a) Tìm mối quan hệ giữa hai tâm sai của các elip đó.

b) Chứng minh rằng với mối điểm M thuộc elip (E₂) thì trung điểm N của đoạn thẳng OM thuộc elip (E₁).

Lời giải:

a) (E₁) có a₁ = 5, b₁ = 4 ⇒ $c_1=\sqrt{a_1^2-b_1^2}=3$ ⇒ tâm sai e₁ = $\frac{c_1}{a_1}$ = $\frac{3}{5}$.

(E₂) có a₂ = 10, b₂ = 8 ⇒ $c_2=\sqrt{a_2^2-b_2^2}=6$ ⇒ tâm sai e₂ = $\frac{c_2}{a_2}$=$\frac{6}{10}$=$\frac{3}{5}$

Vậy e₁ = e₂.

b) Giả sử M có toạ độ là (x; y). Khi đó N có toạ độ là $\left(\frac{x}{2};\frac{y}{2}\right).$

Vì M thuộc (E₂) nên $\frac{x^2}{100}+\frac{y^2}{64}=1$

$\Rightarrow \frac{x^2}{4.25}+\frac{y^2}{4.16}=1\Rightarrow {\left(\frac{x}{2}\right)}^2.\frac{1}{25}+{\left(\frac{y}{2}\right)}^2.\frac{1}{16}=1$

$\Rightarrow \frac{{\left(\frac{x}{2}\right)}^2}{25}+\frac{{\left(\frac{y}{2}\right)}^2}{16}=1.$

Như vậy toạ độ của N thoả mãn phương trình của (E₁), do đó N thuộc (E₁).

Xem thêm lời giải bài tập Chuyên đề học tập Toán 10 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

• Luyện tập 1 trang 59 Chuyên đề Toán 10: Lập phương trình đường conic biết tâm sai bằng $\frac{2}{3}$ , một tiêu điểm F(–2; 0) và đường chuẩn tương ứng Δ: x + $\frac{9}{2}$ = 0....

• Vận dụng trang 59 Chuyên đề Toán 10: Hãy cho biết quỹ đạo của từng vật thể trong bảng sau đây là parabol, elip hay hypebol ....

• Bài 3.17 trang 60 Chuyên đề Toán 10: Viết phương trình các đường chuẩn của các đường conic sau: $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$; $\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{4}=1$ ....

• Bài 3.19 trang 60 Chuyên đề Toán 10: Viết phương trình của đường conic có tâm sai bằng 1, tiêu điểm F(2; 0) và đường chuẩn là Δ: x + 2 = 0 ....

• Bài 3.20 trang 60 Chuyên đề Toán 10: Quỹ đạo chuyển động của sao chổi Halley là một elip, nhận tâm Mặt Trời là một tiêu điểm, có tâm sai bằng 0,967 ....

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 10 hay khác:

• Giải Chuyên đề học tập Toán 10 Kết nối tri thức
• Giải Chuyên đề học tập Toán 10 Chân trời sáng tạo
• Giải Chuyên đề học tập Toán 10 Cánh diều
• Giải lớp 10 Kết nối tri thức (các môn học)
• Giải lớp 10 Chân trời sáng tạo (các môn học)
• Giải lớp 10 Cánh diều (các môn học)

---