Chứng minh rằng bất đẳng thức (1 + 1/2 + 1/3 +...+ 1/n) nhỏ hơn bằng (n+1)/2

Siêu sale 25-9 Shopee

Giải Chuyên đề Toán 10 Bài tập cuối chuyên đề 2

Bài 4 trang 40 Chuyên đề Toán 10: Chứng minh rằng bất đẳng thức $1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \dots + \frac{1}{n} \leq \frac{n + 1}{2}$ đúng với mọi n∈ ℕ*

Quảng cáo

Lời giải:

Bước 1. Với n = 1, ta có $\frac{1}{1} = 1 = \frac{1 + 1}{2} .$ Do đó bất đẳng thức đúng với n = 1.

Bước 2. Giả sử bất đẳng thức đúng với n = k ≥ 1, nghĩa là có:

$1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \dots + \frac{1}{k} \leq \frac{k + 1}{2} .$

Ta cần chứng minh bất đẳng thức đúng với n = k + 1, nghĩa là cần chứng minh:

$1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \dots + \frac{1}{k} + \frac{1}{k + 1} \leq \frac{(k + 1) + 1}{2} .$

Sử dụng giả thiết quy nạp, ta có:

$1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \dots + \frac{1}{k} + \frac{1}{k + 1} \leq$ $\frac{k + 1}{2} + \frac{1}{k + 1} = \frac{{(k + 1)}^{2} + 2}{2 (k + 1)} = \frac{k^{2} + 2 k + 3}{2 (k + 1)}$

$\leq \frac{k^{2} + 2 k + 1 + 2}{2 (k + 1)} \leq \frac{k^{2} + 2 k + k + 2}{2 (k + 1)} = \frac{k^{2} + 3 k + 2}{2 (k + 1)} = \frac{(k + 1) (k + 2)}{2 (k + 1)} = \frac{k + 2}{2} = \frac{(k + 1) + 1}{2} .$

Vậy bất đẳng thức đúng với n = k + 1.

Theo nguyên lí quy nạp toán học, bất đẳng thức đúng với mọi số tự nhiên n ≥ 1.

Quảng cáo

Xem thêm lời giải bài tập Chuyên đề học tập Toán 10 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

Hỏi bài tập trên ứng dụng, thầy cô VietJack trả lời miễn phí!

Săn SALE shopee tháng 9:

ĐỀ THI, GIÁO ÁN, GIA SƯ DÀNH CHO GIÁO VIÊN VÀ PHỤ HUYNH LỚP 10

Bộ giáo án, bài giảng powerpoint, đề thi dành cho giáo viên và gia sư dành cho phụ huynh tại https://tailieugiaovien.com.vn/ . Hỗ trợ zalo VietJack Official

Tổng đài hỗ trợ đăng ký : 084 283 45 85

Giáo án, bài giảng powerpoint Văn, Toán, Lí, Hóa....

4.5 (243)

799,000đs

199,000 VNĐ

Đề thi, chuyên đề Cánh diều, Kết nối tri thức, Chân trời sáng tạo...

4.5 (243)

799,000đ

99,000 VNĐ

Khóa học online bởi các thầy cô VietJack

4.5 (243)

999,000đ

299.000 - 599.000 VNĐ

xem tất cả

Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi online, Bài giảng....miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS.