Với một bình rỗng có dung tích 2 l, một bạn học sinh thực hiện thí nghiệm theo các bước

Giải Chuyên đề Toán 10 Bài tập cuối chuyên đề 2

Bài 5 trang 40 Chuyên đề Toán 10: Với một bình rỗng có dung tích 2 l, một bạn học sinh thực hiện thí nghiệm theo các bước như sau

Bước 1: Rót 1 l nước vào bình, rồi rót đi một nửa lượng nước trong bình.

Bước 2: Rót 1 l nước vào bình, rồi lại rót đi một nửa lượng nước trong bình.

Cứ như vậy, thực hiện các bước 3,4,...

Kí hiệu a_n là lượng nước có trong bình sau bước n(n∈ ℕ*).

a) Tính a₁, a₂, a₃. Từ đó dự đoán công thức tính a_n với n∈ ℕ*

b) Chứng minh công thức trên bằng phương pháp quy nạp toán học.

Lời giải:

a) Sau bước 1 thì trong bình có $\frac{1}{2}$ l nước, do đó a₁ = $\frac{1}{2}$

Sau bước 2 thì trong bình có: $\frac{(\frac{1}{2}+1)}{2}=\frac{3}{4}$l nước, do đó a₂ = $\frac{3}{4}$

Sau bước 3 thì trong bình có: $\frac{(\frac{3}{4}+1)}{2}=\frac{7}{8}.$ l nước, do đó a₂ = $\frac{7}{8}$

Ta có thể dự đoán a_n = $\frac{2^n-1}{2^n}.$

b) Ta chứng minh bằng quy nạp:

Bước 1. Với n = 1, ta có a₁ = $\frac{1}{2}=\frac{2^1-1}{2^1}.$ Do đó công thức đúng với n = 1.

Bước 2. Giả sử công thức đúng với n = k ≥ 1, nghĩa là có: a_k = $\frac{2^k-1}{2^k}.$

Ta cần chứng minh đẳng thức đúng với n = k + 1, nghĩa là cần chứng minh:

a_{k + 1} = $\frac{2^{k+1}-1}{2^{k+1}}.$

Thật vậy:

a_k là lượng nước có trong bình sau bước thứ k thì lượng nước có trong bình sau bước thứ k + 1 là:

a_{k + 1} = $=\frac{\frac{2^k-1}{2^k}+1}{2}=\frac{\frac{(2^k-1)+2^k}{2^k}}{2}=\frac{{\mathrm{2\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}.\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}2}}^k-1}{2^k\mathrm{\hspace{0.17em}.\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}2}}=\frac{2^{k+1}-1}{2^{k+1}}.$

Vậy công thức đúng với n = k + 1.

Theo nguyên lí quy nạp toán học, công thức đúng với mọi số tự nhiên n ≥ 1.

Xem thêm lời giải bài tập Chuyên đề học tập Toán 10 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

• Bài 1 trang 40 Chuyên đề Toán 10: Chứng minh rằng các đẳng thức sau đúng với mọi n∈ ℕ*.....

• Bài 2 trang 40 Chuyên đề Toán 10: Chứng minh rằng với mọi n∈ ℕ*: a) 3ⁿ – 1 – 2n chia hết cho 4....

• Bài 3 trang 40 Chuyên đề Toán 10: Chứng minh rằng 8ⁿ ≥ n³ với mọi n∈ ℕ*. ....

• Bài 4 trang 40 Chuyên đề Toán 10: Chứng minh rằng bất đẳng thức $1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\mathrm{\dots }+\frac{1}{n}\le \frac{n+1}{2}$ đúng với mọi n∈ ℕ* ....

• Bài 6 trang 40 Chuyên đề Toán 10: Tìm hệ số của x³ trong khai triển: ....

• Bài 7 trang 40 Chuyên đề Toán 10: Tìm hệ số của x⁵ trong khai triển (2x + 3)(x – 2)⁶ ....

• Bài 8 trang 40 Chuyên đề Toán 10: Tìm ba số hạng đầu tiên trong khai triển của (1 + 2x)⁶, các số hạng được viết theo thứ tự số mũ của x tăng dần ....

• Bài 9 trang 40 Chuyên đề Toán 10: Trong khai triển biểu thức (3x – 4)¹⁵ thành đa thức, hãy tính tổng các hệ số của đa thức nhận được. ....

• Bài 10 trang 40 Chuyên đề Toán 10: Chứng minh rằng các đẳng thức sau đúng với mọi n∈ ℕ*: ....

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 10 hay khác:

• Giải Chuyên đề học tập Toán 10 Kết nối tri thức
• Giải Chuyên đề học tập Toán 10 Chân trời sáng tạo
• Giải Chuyên đề học tập Toán 10 Cánh diều

---