Một sao chổi A chuyển động theo quỹ đạo có dạng một parabol (P) nhận tâm Mặt Trời là tiêu điểm

Giải Chuyên đề Toán 10 Bài 3: Parabol

Bài 6 trang 59 Chuyên đề Toán 10: Một sao chổi A chuyển động theo quỹ đạo có dạng một parabol (P) nhận tâm Mặt Trời là tiêu điểm. Cho biết khoảng cách ngắn nhất giữa sao chổi A và tâm Mặt Trời là khoảng 112 km.

a) Viết phương trình chính tắc của parabol (P).

b) Tính khoảng cách giữa sao chổi A và tâm Mặt Trời khi sao chổi nằm trên đường thẳng đi qua tiêu điểm và vuông góc với trục đối xứng của (P).

Quảng cáo

Lời giải:

a) Chọn hệ trục toạ độ sao cho gốc toạ độ O trùng với đỉnh của parabol, tâm Mặt Trời trùng với tiêu điểm của parabol, đơn vị trên các trục là kilômét.

Gọi phương trình chính tắc của (P) là y² = 2px (p > 0).

Gọi F là tiêu điêm của (P), (x; y) là toạ độ của sao chổi A.

Khi đó khoảng cách giữa sao chổi A và tâm Mặt Trời là AF = $x + \frac{p}{2}$ ≥ $\frac{p}{2}$ (vì x ≥ 0)

$\Rightarrow$ khoảng cách ngắn nhất giữa sao chổi A và tâm Mặt Trời là $\frac{p}{2}$ (km)

$\Rightarrow \frac{p}{2} = 112 \Rightarrow p = 224 .$

Vậy phương trình chính tắc của (P) là y² = 448x.

b) Khi sao chổi nằm trên đường thẳng đi qua tiêu điểm và vuông góc với trục đối xứng của (P) thì sao chổi có hoành độ là $x = \frac{p}{2} .$

Khoảng cách giữa sao chổi A và tâm Mặt Trời khi đó là:

AF = $x + \frac{p}{2} = \frac{p}{2} + \frac{p}{2} = p = 224$ (km).