Ta đã biết tính chất quang học của ba đường conic (xem phần đọc thêm Bạn có biết?)

Giải Chuyên đề Toán 10 Bài tập cuối chuyên đề 3

Bài 6 trang 65, 66 Chuyên đề Toán 10: Ta đã biết tính chất quang học của ba đường conic (xem phần đọc thêm Bạn có biết? ở trang 72, sách giáo khoa Toán 10, tập hai). Hypebol cũng có tính chất quang học tương tự như elip: Tia sáng hướng tới tiêu điểm F₁ của hypebol (H) khi gặp một nhánh của (H) sẽ cho tia phản xạ đi qua F₂. Một nhà nghiên cứu thiết kế một kính thiên văn vô tuyến chứa hai gương có mặt cắt hình parabol (P) và hình một nhánh của hypebol (H). Parabol (P) có tiêu điểm F₁ và đỉnh S. Hypebol (H) có đỉnh A, có chung một tiêu điểm là F₁ với (P) và còn có tiêu điểm thứ hai F₂ (Hình 3).

Nguyên tắc hoạt động của kính thiên văn đó như sau: Tín hiệu đến từ vũ trụ được xem như song song với trục của parabol (P), khi đến điểm M của (P) sẽ cho tia phản xạ theo hướng MF₁, tia này gặp (H) tại điểm N và cho tia phản xạ tới F₂ là nơi thu tín hiệu. Cho biết SF₁ = 14 m, SF₂ = 2 m và AF₁ = 1 m. Hãy viết phương trình chính tắc của (P) và (H).

(Nguồn: https://sciencestruck.com/parabolic – mirror – working – principle – applications)

Lời giải:

+) Gọi phương trình chính tắc của (H) là $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ (a > 0, b > 0).

F₁, F₂ là hai tiêu điểm của (H) nên 2c = F₁F₂ = SF₁ – SF₂ = 14 – 2 = 12, suy ra c = 6.

AF₂ = F₁F₂ – AF₁ = 12 – 1 = 11.

Vì A thuộc (H) nên 2a = |AF₁ – AF₂| = |1 – 11| = 10, suy ra a = 5,

$\Rightarrow b^2=c^2-a^2=6^2-5^2=11.$

Vậy phương trình chính tắc của (H) là $\frac{x^2}{25}-\frac{y^2}{11}=1.$

+) Gọi phương trình chính tắc của (P) là y² = 2px (p > 0).

S là đỉnh và F₁ là tiêu điểm của parabol nên $\frac{p}{2}$ = SF₁ = 14, suy ra p = 28.

Vậy phương trình chính tắc của (P) là y² = 56x.

Xem thêm lời giải bài tập Chuyên đề học tập Toán 10 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

• Bài 1 trang 65 Chuyên đề Toán 10: Tìm toạ độ các đỉnh, tiêu điểm và bán kính qua tiêu ứng với điểm M(x; y) của các conic sau: ....

• Bài 2 trang 65 Chuyên đề Toán 10: Cho elip $\left(E\right):\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1$. ....

• Bài 3 trang 65 Chuyên đề Toán 10: Xác định tâm sai, tiêu điểm và đường chuẩn tương ứng của mỗi đường conic sau ....

• Bài 4 trang 65 Chuyên đề Toán 10: Cho đường thẳng d: x + y – 1 = 0 và điểm F(1; 1). Viết phương trình đường conic nhận F là tiêu điểm, d là đường chuẩn và có tâm sai e trong mỗi trường hợp sau: ....

• Bài 5 trang 65 Chuyên đề Toán 10: Mặt Trăng chuyển động theo một quỹ đạo là đường elip có tâm sai bằng 0,0549 và nhận tâm Trái Đất là một tiêu điểm ....

• Bài 7 trang 66 Chuyên đề Toán 10: Mặt cắt của một chảo ăng-ten là một phần của parabol (P). Cho biết đầu thu tín hiệu đặt tại tiêu điểm F cách đỉnh O của chảo một khoảng là $\frac{1}{6}$m ....

• Bài 8 trang 66 Chuyên đề Toán 10: Gương phản chiếu của một đèn chiếu có mặt cắt hình parabol (Hình 5). Chiều rộng giữa hai mép vành của gương là MN = 32 cm và chiều sâu của gương là OH = 24 cm. ....

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 10 hay khác:

• Giải Chuyên đề học tập Toán 10 Kết nối tri thức
• Giải Chuyên đề học tập Toán 10 Chân trời sáng tạo
• Giải Chuyên đề học tập Toán 10 Cánh diều
• Giải lớp 10 Kết nối tri thức (các môn học)
• Giải lớp 10 Chân trời sáng tạo (các môn học)
• Giải lớp 10 Cánh diều (các môn học)

---