Tính chất của các số trang 34 Chuyên đề Toán 10

Giải Chuyên đề Toán 10 Bài 4: Nhị thức Newton

HĐ3 trang 34 Chuyên đề Toán 10: Tính chất của các số $C_n^k$

a) Quan sát ba dòng đầu, hoàn thành tiếp hai dòng cuối theo mẫu:

(a + b)¹ = a + b = $C_1^{0}a+C_1^{0}b$

(a + b)² = a² + 2ab + b² = $C_2^0{a}^2+C_2^{1}ab+C_2^0{b}^2$

(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³ = $C_3^0{a}^3+C_3^1{a}^{2}b+C_3^{2}a{b}^2+C_3^0{b}^3$

(a + b)⁴ = a⁴ + 4a³b + 6a²b² + 4ab³ + b⁴ = ...

(a + b)⁵ = a⁵ + 5a⁴b + 10a³b² + 10a²b³ + 5ab⁴ + b⁵ = ...

Nhận xét rằng các hệ số khai triển của hai số hạng cách đều số hạng đầu và số hạng cuối luôn bằng nhau. Hãy so sánh, chẳng hạn, $C_4^1$ và $C_4^3$, ${\mathrm{C}}_5^2$ và ${\mathrm{C}}_5^3$. Từ đó hãy dự đoán hệ thức giữa $C_n^k$ và $C_n^{n-k}$ (0 ≤ k ≤ n).

b) Dựa vào kết quả của HĐ3a, ta có thể viết những hàng đầu của tam giác Pascal dưới dạng:

 

Từ tính chất của tam giác Pascal, hãy so sánh ${\mathrm{C}}_1^0+{\mathrm{C}}_1^1$ và ${\mathrm{C}}_2^1$, ${\mathrm{C}}_2^0+{\mathrm{C}}_2^1$ và $C_3^1$,... Từ đó hãy dự đoán hệ thức giữa $C_{n-1}^{k-1}+C_{n-1}^k$ và $C_n^k.$

Lời giải:

a) (a + b)⁴ = a⁴ + 4a³b + 6a²b² + 4ab³ + b⁴

= ${\mathrm{C}}_4^0$a⁴ + ${\mathrm{C}}_4^1$a³b + ${\mathrm{C}}_4^2$a²b² + ${\mathrm{C}}_4^3$ab³ + ${\mathrm{C}}_4^4$b⁴.

(a + b)⁵ = a⁵ + 5a⁴b + 10a³b² + 10a²b³ + 5ab⁴ + b⁵

= ${\mathrm{C}}_5^0$a⁵ + ${\mathrm{C}}_5^1$a⁴b + ${\mathrm{C}}_5^2$a³b² + ${\mathrm{C}}_5^3$a²b³ + ${\mathrm{C}}_5^4$ab⁴ + ${\mathrm{C}}_5^5$b⁵.

Ta thấy ${\mathrm{C}}_4^1$ = ${\mathrm{C}}_4^3$, ${\mathrm{C}}_5^2$ = ${\mathrm{C}}_5^3$,...

Dự đoán: ${\mathrm{C}}_n^k$ = $C_n^{n-k}$.

b) Ta thấy $C_1^0+C_1^1$ = $C_2^1,$ ${\mathrm{C}}_2^0+{\mathrm{C}}_2^1$ = ${\mathrm{C}}_3^1$,...

Dự đoán: $C_{n-1}^{k-1}+C_{n-1}^k$ = $C_n^k.$

Xem thêm lời giải bài tập Chuyên đề học tập Toán 10 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

• HĐ1 trang 32 Chuyên đề Toán 10: Khai triển (a + b)ⁿ, n {1; 2; 3; 4; 5} ....

• HĐ2 trang 33 Chuyên đề Toán 10: Tam giác Pascal. Viết các hệ số của khai triển (a + b)ⁿ với một số giá trị đầu tiên của n ....

• Luyện tập 1 trang 34 Chuyên đề Toán 10: Sử dụng tam giác Pascal viết khai triển của (a + b)⁷. Sử dụng tam giác Pascal viết khai triển của (2x – 1)⁴ ....

• HĐ4 trang 35 Chuyên đề Toán 10: Quan sát khai triển nhị thức của (a + b)ⁿ với n ∈ {1; 2; 3; 4; 5} ở HĐ3, hãy dự đoán công thức khai triển trong trường hợp tổng quát ....

• Luyện tập 2 trang 36 Chuyên đề Toán 10: Khai triển (x – 2y)⁶ ....

• Luyện tập 3 trang 36 Chuyên đề Toán 10: Tìm hệ số của x⁷ trong khai triền thành đa thức của (2 – 3x)¹⁰ ....

• Vận dụng trang 36 Chuyên đề Toán 10: (Số các tập con của tập hợp có n phần tử) Viết khai triển nhị thức Newton của (1 + x)ⁿ ....

• Bài 2.9 trang 37 Chuyên đề Toán 10: Sử dụng tam giác Pascal, viết khai triển: (x – 1)⁵; (2x – 3y)⁴....

• Bài 2.10 trang 37 Chuyên đề Toán 10: Viết khai triển theo nhị thức Newton: (x + y)⁶; (1 – 2x)⁵ ....

• Bài 2.11 trang 37 Chuyên đề Toán 10: Tìm hệ số của x⁸ trong khai triển của (2x + 3)¹⁰ ....

• Bài 2.12 trang 37 Chuyên đề Toán 10: Biết hệ số của x² trong khai triển của (1 – 3x)ⁿ là 90 . Tìm n ....

• Bài 2.13 trang 37 Chuyên đề Toán 10: Từ khai triển biểu thức (3x – 5)⁴ thành đa thức, hãy tính tổng các hệ số của đa thức nhận được. ....

• Bài 2.14 trang 37 Chuyên đề Toán 10: Tìm hệ số của x⁵ trong khai triển thành đa thức của biểu thức x(1 – 2x)⁵ + x²(1 + 3x)¹⁰ ....

• Bài 2.15 trang 37 Chuyên đề Toán 10: Tính tổng sau đây: $C_{2021}^0-2C_{2021}^1+2^2{C}_{2021}^2-2^3{C}_{2021}^3+\dots -2^{2021}{C}_{2021}^{2021}.$ ....

• Bài 2.16 trang 37 Chuyên đề Toán 10: Tìm số tự nhiên n thoả mãn $C_{2n}^0+C_{2n}^2+C_{2n}^4+\dots +C_{2n}^{2n}=2^{2021}.$ ....

• Bài 2.17 trang 37 Chuyên đề Toán 10: Tìm số nguyên dương n sao cho $C_n^0+2C_n^1+4C_n^2+\dots +2^n{C}_n^n=243.$ ....

• Bài 2.18 trang 37 Chuyên đề Toán 10: Biết rằng (2 + x)¹⁰⁰ = a₀ + a₁x + a₂x² + ... + a₁₀₀x¹⁰⁰. Với giá trị nào của k (0 ≤ k ≤ 100) thì a_k Iớn nhất? ....

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 10 hay khác:

• Giải Chuyên đề học tập Toán 10 Kết nối tri thức
• Giải Chuyên đề học tập Toán 10 Chân trời sáng tạo
• Giải Chuyên đề học tập Toán 10 Cánh diều
• Giải lớp 10 Kết nối tri thức (các môn học)
• Giải lớp 10 Chân trời sáng tạo (các môn học)
• Giải lớp 10 Cánh diều (các môn học)

---