Biết rằng (2 + x)^100 = a0 + a1x + a2x^2 + ... + a100x^100

Giải Chuyên đề Toán 10 Bài 4: Nhị thức Newton

Bài 2.18 trang 37 Chuyên đề Toán 10: Biết rằng (2 + x)¹⁰⁰ = a₀ + a₁x + a₂x² + ... + a₁₀₀x¹⁰⁰. Với giá trị nào của k (0 ≤ k ≤ 100) thì a_k Iớn nhất?

Lời giải:

+) Ta có:

Số hạng chứa x^k trong khai triển của (2 + x)¹⁰⁰ hay (x +2)¹⁰⁰ là

$C_{100}^{100-k}{x}^k{2}^{100-k}=C_{100}^k{2}^{100-k}{x}^k=2^{100}\frac{C_{100}^k}{2^k}{x}^k.$

Vậy hệ số của x^k trong khai triển của (x + 2)¹⁰⁰ là:

$2^{100}\frac{C_{100}^k}{2^k}\Rightarrow a_k=2^{100}\frac{C_{100}^k}{2^k}.$

+) Giải bất phương trình: a_k ≤ a_{k + 1} (1).

(1) ⇔ $2^{100}\frac{C_{100}^k}{2^k}\le 2^{100}\frac{C_{100}^{k+1}}{2^{k+1}}\iff \frac{C_{100}^k}{2^k}\le \frac{C_{100}^{k+1}}{2^{k+1}}\iff \frac{C_{100}^k}{C_{100}^{k+1}}\le \frac{2^k}{2^{k+1}}$

⇔ $\frac{\frac{100!}{k!\left(100-k\right)!}}{\frac{100!}{\left(k+1\right)!\left(100-k-1\right)!}}\le \frac{1}{2}$

⇔ $\frac{\left(k+1\right)!\left(100-k-1\right)!}{k!\left(100-k\right)!}\le \frac{1}{2}\iff \frac{k+1}{100-k}\le \frac{1}{2}$

⇔ 2(k + 1) ≤ 100 - k ⇔ 3k ≤ 98 ⇔ k ≤ 32 (vì k là số tự nhiên).

+) Vì a_k ≤ a_{k + 1} ⇔ k ≤ 32 nên a_k ≥ a_{k + 1} ⇔ k ≥ 32

Do đó $a_1\le a_2\le \mathrm{...}\le a_{32}\le a_{33}\ge a_{34}\ge a_{35}\ge \mathrm{...}\ge a_{100}.$

Ta thấy dấu "=" không xảy ra với bất kì giá trị nào của k.

Do đó a₃₃ là giá trị lớn nhất trong các a_k.

Xem thêm lời giải bài tập Chuyên đề học tập Toán 10 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

• HĐ1 trang 32 Chuyên đề Toán 10: Khai triển (a + b)ⁿ, n {1; 2; 3; 4; 5} ....

• HĐ2 trang 33 Chuyên đề Toán 10: Tam giác Pascal. Viết các hệ số của khai triển (a + b)ⁿ với một số giá trị đầu tiên của n ....

• Luyện tập 1 trang 34 Chuyên đề Toán 10: Sử dụng tam giác Pascal viết khai triển của (a + b)⁷. Sử dụng tam giác Pascal viết khai triển của (2x – 1)⁴ ....

• HĐ3 trang 34 Chuyên đề Toán 10: Tính chất của các số $C_n^k$. Quan sát ba dòng đầu, hoàn thành tiếp hai dòng cuối theo mẫu ....

• HĐ4 trang 35 Chuyên đề Toán 10: Quan sát khai triển nhị thức của (a + b)ⁿ với n ∈ {1; 2; 3; 4; 5} ở HĐ3, hãy dự đoán công thức khai triển trong trường hợp tổng quát ....

• Luyện tập 2 trang 36 Chuyên đề Toán 10: Khai triển (x – 2y)⁶ ....

• Luyện tập 3 trang 36 Chuyên đề Toán 10: Tìm hệ số của x⁷ trong khai triền thành đa thức của (2 – 3x)¹⁰ ....

• Vận dụng trang 36 Chuyên đề Toán 10: (Số các tập con của tập hợp có n phần tử) Viết khai triển nhị thức Newton của (1 + x)ⁿ ....

• Bài 2.9 trang 37 Chuyên đề Toán 10: Sử dụng tam giác Pascal, viết khai triển: (x – 1)⁵; (2x – 3y)⁴....

• Bài 2.10 trang 37 Chuyên đề Toán 10: Viết khai triển theo nhị thức Newton: (x + y)⁶; (1 – 2x)⁵ ....

• Bài 2.11 trang 37 Chuyên đề Toán 10: Tìm hệ số của x⁸ trong khai triển của (2x + 3)¹⁰ ....

• Bài 2.12 trang 37 Chuyên đề Toán 10: Biết hệ số của x² trong khai triển của (1 – 3x)ⁿ là 90 . Tìm n ....

• Bài 2.13 trang 37 Chuyên đề Toán 10: Từ khai triển biểu thức (3x – 5)⁴ thành đa thức, hãy tính tổng các hệ số của đa thức nhận được. ....

• Bài 2.14 trang 37 Chuyên đề Toán 10: Tìm hệ số của x⁵ trong khai triển thành đa thức của biểu thức x(1 – 2x)⁵ + x²(1 + 3x)¹⁰ ....

• Bài 2.15 trang 37 Chuyên đề Toán 10: Tính tổng sau đây: $C_{2021}^0-2C_{2021}^1+2^2{C}_{2021}^2-2^3{C}_{2021}^3+\dots -2^{2021}{C}_{2021}^{2021}.$ ....

• Bài 2.16 trang 37 Chuyên đề Toán 10: Tìm số tự nhiên n thoả mãn $C_{2n}^0+C_{2n}^2+C_{2n}^4+\dots +C_{2n}^{2n}=2^{2021}.$ ....

• Bài 2.17 trang 37 Chuyên đề Toán 10: Tìm số nguyên dương n sao cho $C_n^0+2C_n^1+4C_n^2+\dots +2^n{C}_n^n=243.$ ....

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 10 hay khác:

• Giải Chuyên đề học tập Toán 10 Kết nối tri thức
• Giải Chuyên đề học tập Toán 10 Chân trời sáng tạo
• Giải Chuyên đề học tập Toán 10 Cánh diều
• Giải lớp 10 Kết nối tri thức (các môn học)
• Giải lớp 10 Chân trời sáng tạo (các môn học)
• Giải lớp 10 Cánh diều (các môn học)

---