Bài 1 trang 28 Chuyên đề Toán 11 Chân trời sáng tạo

Giải Chuyên đề Toán 11 Bài 5: Phép quay - Chân trời sáng tạo

Bài 1 trang 28 Chuyên đề Toán 11: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho các điểm A(–4; 2), B(–4; 5) và C(–1; 3).

a) Chứng minh các điểm A’(2; 4), B’(5; 4) và C’(3; 1) theo thứ tự là ảnh của A, B, C qua phép quay tâm O với góc quay –90°.

b) Gọi ∆A₁B₁C₁ là ảnh của ∆ABC qua phép dời hình có được bằng cách thực hiện phép quay tâm O với góc quay –90° và phép đối xứng qua Ox. Tìm tọa độ các đỉnh của ∆A₁B₁C₁.

Quảng cáo

Lời giải:

Bài 1 trang 28 Chuyên đề học tập Toán 11 Chân trời sáng tạo

Với A(–4; 2) và A’(2; 4), ta có $\vec{OA} = (- 4; 2), \vec{{OA}^{'}} = (2; 4), \vec{{AA}^{'}} = (6; 2)$ .

Do đó $OA = {OA}^{'} = 2 \sqrt{5}$ và ${AA}^{'} = 2 \sqrt{10}$ .

Suy ra $\cos \hat{{AOA}^{'}} = \frac{{OA}^{2} + O {A^{'}}^{2} - A {A^{'}}^{2}}{2 . OA . {OA}^{'}} = \frac{{(2 \sqrt{5})}^{2} + {(2 \sqrt{5})}^{2} - {(2 \sqrt{10})}^{2}}{2 .2 \sqrt{5} . 2 \sqrt{5}} = 0$ .

Do đó $\hat{{AOA}^{'}} = 90 °$ .

Mà khi quay đoạn OA (với tâm O) theo hướng cùng chiều kim đồng hồ một góc 90° thì ta được đoạn OA’. Tức là, phép quay có góc quay lượng giác theo chiều âm một góc 90°.

Vì vậy góc lượng giác (OA, OA’) = –90°.

Vậy A’ là ảnh của A qua phép quay tâm O với góc quay –90°.

Chứng minh tương tự, ta thu được B’, C’ theo thứ tự là ảnh của B, C qua phép quay tâm O với góc quay –90°.

b) Từ câu a, ta có phép quay tâm O, góc quay –90° biến ∆ABC thành ∆A’B’C’.

Ta có: ∆A₁B₁C₁ là ảnh của ∆A’B’C’ qua phép đối xứng trục Ox nên:

• A₁ = Đ_Ox(A’), do đó hai điểm A₁ và A’(2; 4) có cùng hoành độ và có tung độ đối nhau, suy ra A₁(2; –4).

• B₁ = Đ_Ox(B’), do đó hai điểm B₁ và B’(5; 4) có cùng hoành độ và có tung độ đối nhau, suy ra B₁(5; –4).

• C₁ = Đ_Ox(C’), do đó hai điểm C₁ và C’(3; 1) có cùng hoành độ và có tung độ đối nhau, suy ra C₁(3; –1).

Vậy tọa độ các đỉnh của ∆A₁B₁C₁ thỏa mãn yêu cầu bài toán là A₁(2; –4), B₁(5; –4), C₁(3; –1).

Bài 1 trang 28 Chuyên đề học tập Toán 11 Chân trời sáng tạo