Cho tứ giác ABCD, M là điểm thay đổi trong mặt phẳng thỏa mãn ( vectơ MA + vectơ MB ) . ( vectơ MC + vectơ MD ) = 0

Giải sách bài tập Toán 10 Bài tập cuối chương 4 trang 106, 107, 108

Bài 81 trang 108 SBT Toán 10 tập 1: Cho tứ giác ABCD, M là điểm thay đổi trong mặt phẳng thỏa mãn $\left(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}\right).\left(\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MD}\right)=0$. Chứng minh M luôn nằm trên đường tròn cố định.

Lời giải:

Gọi I và J lần lượt là trung điểm của AB và CD.

Khi đó ta có: $\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}=\overrightarrow{0}$ và $\overrightarrow{JC}+\overrightarrow{JD}=\overrightarrow{0}$

⇒ $\left(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}\right).\left(\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MD}\right)=$

$\left(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IB}\right).\left(\overrightarrow{MJ}+\overrightarrow{JC}+\overrightarrow{MJ}+\overrightarrow{JD}\right)\text{ = }\overrightarrow{0}$

⇔ $\left(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IB}\right).\left(\overrightarrow{MJ}+\overrightarrow{JC}+\overrightarrow{MJ}+\overrightarrow{JD}\right)=\overrightarrow{0}$

⇔ $\left(2\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}\right).\left(2\overrightarrow{MJ}+\overrightarrow{JC}+\overrightarrow{JD}\right)=\overrightarrow{0}$

⇔ $4\overrightarrow{MI}.\overrightarrow{MJ}=\overrightarrow{0}$

⇔ $\widehat{\text{IMJ}}=90°$

Vậy M là điểm thuộc đường tròn đường kính IJ.

Xem thêm các bài giải sách bài tập Toán lớp 10 Cánh diều hay, chi tiết khác:

• Bài 67 trang 106 SBT Toán 10 Tập 1: Cho góc nhọn α. Biểu thức (sinα . cotα)^2 + (cosα . tanα)^2 bằng: ....

• Bài 68 trang 106 SBT Toán 10 Tập 1: Cho các vectơ a,b ≠ vectơ 0 . Phát biểu nào sau đây là đúng? ....

• Bài 69 trang 106 SBT Toán 10 Tập 1: Cho tứ giác ABCD. Biểu thức (vectơ AB) . (vectơ CD) + (vectơ BC) . (vectơ CD) + (vectơ CA) . (vectơ CD) bằng: ....

• Bài 70 trang 106 SBT Toán 10 Tập 1: Cho góc nhọn α. Biểu thức tanα . tan(90°– α) bằng: ....

• Bài 71 trang 106 SBT Toán 10 Tập 1: Cho α thỏa mãn . Tính cosα, tanα, cotα, sin(90° – α), cos(90° – α), sin(180° – α), cos(180° – α) ....

• Bài 72 trang 107 SBT Toán 10 Tập 1: Cho tam giác ABC có AB = 4, AC = 6, ∠BAC = 60° . Tính (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị) ....

• Bài 73 trang 107 SBT Toán 10 Tập 1: Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng (vectơ AB) . (vectơ AC) = 1/2 ( AB^2+AC^2-BC^2) ....

• Bài 74 trang 107 SBT Toán 10 Tập 1: Cho tam giác ABC có AB = 5, BC = 6, CA = 7. Tính: a) sin ∠ABC; b) Diện tích tam giác ABC; c) Độ dài đường trung tuyến AM ....

• Bài 75 trang 107 SBT Toán 10 Tập 1: Cho ba điểm I, A, B và số thực k ≠ 1 thỏa mãn vectơ IK = 3 vectơ IB . Chứng minh với O là điểm bất kì ....

• Bài 76 trang 107 SBT Toán 10 Tập 1: Cho tam giác ABC có AB = 4, AC = 5, ∠BAC = 120° . Điểm M là trung điểm của đoạn thẳng BC ....

• Bài 77 trang 107 SBT Toán 10 Tập 1: Một người quan sát đứng ở bờ sông muốn đo độ rộng của khúc sông chỗ chảy qua vị trí đứng ....

• Bài 78 trang 107 SBT Toán 10 Tập 1: Cho hai vectơ a, vectơ b và | vectơ a | = 4, |vectơ b | = 5, (vectơ a, vectơ b) = 135° ....

• Bài 79 trang 108 SBT Toán 10 Tập 1: a) Chứng minh đẳng thức | vectơ a + vectơ b |^2 = |vectơ a|^2 + |vectơ b|^2 + 2. vectơ a . vectơ b với vectơ a và vectơ b là hai vectơ bất kì ....

• Bài 80 trang 108 SBT Toán 10 Tập 1: Cho tam giác ABC, có ba trung tuyến AD, BE, CF. Chứng minh rằng: (vectơ AD . vectơ BC) + (vectơ BE . vectơ CA) + (vectơ CF . vectơ AB) = 0 ....

• Bài 82 trang 108 SBT Toán 10 Tập 1: Cho tam giác ABC và đường thẳng d không có điểm chung với bất kì cạnh nào của tam giác ....

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 10 hay khác:

• Giải sgk Toán 10 Cánh diều
• Giải Chuyên đề học tập Toán 10 Cánh diều
• Giải SBT Toán 10 Cánh diều
• Giải lớp 10 Cánh diều (các môn học)
• Giải lớp 10 Kết nối tri thức (các môn học)
• Giải lớp 10 Chân trời sáng tạo (các môn học)

---